Reichel Mathematik 6, Schulbuch

273 Folgen und Grenzprozesse Kompetenzcheck – Lösungen 4 695‒697: Gegeben war die Foøge k x n l = k 1; 2; 4; 7; 11; 16; 22 ; 29 ; 37 ; 46 l . x 1 = 1, x n + 1 = x n + n Fehøende Foøgengøieder siehe oben. 695 x 1 = 1, x 2 = 1 + 1, x 3 = 1 + 1 + 2, … x n = 1 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) = = 1 + (1 + (n – 1))·(n – 1) ___________ 2 = 1 + n·(n – 1) _____ 2 = 2 + n 2 – n ______ 2 0 1 x n x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 696 Die Foøge ist streng monoton wachsend , weiø x n + 1 > x n ist. 697 1 Die Foøge ist nach unten beschränkt, weiø es ein c gibt, so dass aøøe Foøgengøieder x n größer oder gøeich c sind. 2 Die größte untere Schranke von k x n l ist 1 . 3 Beweis: 1 ª 2 + n 2 – n ______ 2 ! ·2 2 ª 2 + n 2 – n ! ‒2 0 ª n (n – 1) w.A. Å n * N 698‒702: Gegeben war eine arithmetische Foøge k a n l = k ‒3; ‒1; 1 ; 3; 5; 7 ; 9 ; … l . Fehøende Foøgengøieder siehe oben. 698 Jedes Foøgengøied (außer dem ersten und even- tueøø dem øetzten) ist das arithmetische Mitteø seiner Nachbarn. a n = ‒3 + (n – 1)·2 a 50 = ‒3 + 49·2 = 95 699 Zum ersten Foøgengøied wird (n – 1)-maø d ad- diert. Dies entspricht gerade der Definition einer arithmetischen Foøge. a 1 = ‒3 a n + 1 = a n + 2 700 k ‒3; ‒4; ‒3; 0; 5; 12; … l ; Es handeøt sich dabei um keine arithmetische Foøge, weiø die Abstände benachbarter Foøgengøieder verschieden sind. s 100 = (‒3 + (‒3) + 99·2)· 100 ___ 2 = 9600 701 s n = a 1 + a 2 + … + a n – 1 + a n = = a 1 + a 1 + d + … + a 1 + (n – 2)·d + + a 1 + (n – 1)·d = (2a 1 + (n – 1)·d)·n/2 größte untere Schranke: ‒3 nach oben unbeschränkt 702 a n + 1 > a n weiø a n + 1 = a n + 2 > a n Å n * N * 703‒706: Gegeben war eine geometrische Foøge k b n l = k 4; 2; 1 ; 1 _ 2 ; 1 _ 4 ; 1 _ 8 ; 1 __ 16 ; … l . Fehøende Foøgengøieder siehe oben. 703 Jedes Foøgengøied (außer dem ersten und even- tueøø dem øetzten) ist das geometrische Mitteø seiner Nachbarn. b n = 4· “ 1 _ 2 § n – 1 , b 10 = 0,0078125 704 Das erste Foøgengøied wird (n – 1)-maø mit q muøtipøiziert. Anaøog: b n = b 0 ·q n b 1 = 4, b n + 1 = b n · 1 _ 2 705 k 4; 6; 7; 7,5; 7,75; 7,875; … l ; Es handeøt sich dabei um keine geometrische Foøge. s 10 = 4· 0,5 10 – 1 _____ 0,5 – 1 = 1023 ___ 128 = 7,9921875 706 4 º b n weiø 4 º 4· “ 1 _ 2 § n Å n * N 0 1 1 n x n x 1 x 2 x 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv