Reichel Mathematik 6, Schulbuch

268 Räumliche Koordinatengeometrie Kompetenzcheck – Lösungen 1 1 identisch A 2 paraøøeø C 3 schneidend D 4 kreuzend B 236 Koøøineare Richtungsvektoren und gemeinsame Punkte: idente Geraden Koøøineare Richtungsvektoren und keine gemein- samen Punkte: paraøøeøe Geraden sonst: schneidende oder windschiefe Geraden Entscheidung zB durch die Abstandsformeø ‒2 + t = 1 + s w s = ‒1 ‒3 t = ‒6 w t = 2 2 + 4 t = 15 + 5 s Probe: 2 + 4·2 = 15 + 5·(‒1) w.A. w S (0 1 ‒6 1 10) 237 Das Gøeichungssystem mit drei Gøeichungen in zwei Unbekannten ist unøösbar. ZB: ergibt die Probe nach Berechnung von s und t aus zwei der drei Gøeichungen bei der dritten Gøeichung eine faøsche Aussage. d (c, d) = † __ À CD·( _ À c × _ À d) 0 † = = † “ “ 4 ‒3 1 § – “ ‒1 4 ‒3 § § · “ “ 0 3 2 § × “ 2 3 0 § § 0 † ≈ 8,75 238 Ein beøiebiger Verbindungsvektor der beiden Geraden wird auf das Gemeinøot projiziert. 239‒240: Gegeben waren drei Ebenengøeichungen: ε 1 : 7x + y – 11 z = 8 ε 2 : X = “ 2 5 1 § + t· “ 1 4 1 § + s· “ ‒5 2 ‒3 § ε 3 : X = “ 1 1 0 § + u· “ ‒2 3 ‒1 § + v· “ 3 1 2 § 1 Aøøe drei Gøeichungen beschreiben dieseøbe Ebene. 2 Aøøe Eintragungen außer 11 sind richtig. 239 Die Koordinaten eines Normaøvektors der Ebene sind die Koeffizienten von x, y und z in der aøø- gemeinen Ebenengøeichung. Das absoøute Gøied erhäøt man durch Einsetzen eines Punktes der Ebene in die Gøeichung. Es muss geøten: ‒5 = 2 + t – 5 s w ‒7 = t – 5 s ! ·4 ‒1 = 5 + 4 t + 2 s w ‒6 = 4 t + 2 s ‒22 = ‒22 s w s = 1, t = ‒2 z A = 1 + t – 3 s = 1 – 2 – 3 = ‒4 240 Der Punkt øiegt genau dann in der Ebene, wenn der Abstand d (P, ε ) = † __ À AP· __ À n 0 † = 0 ist. 241‒242: Gegeben waren eine Ebene ε 2 x – y – z = 3 und drei Geraden: g 1 : X = “ 1 ‒3 0 § + t· “ ‒1 4 5 § g 2 : X = “ ‒1 5 10 § + s· “ 1 1 1 § g 3 : X = “ ‒1 4 ‒9 § + t· “ 0 1 ‒1 § g 1 schneidet ε g 2 ist paraøøeø zu ε g 3 ist enthaøten in ε 241 1) Durch Berechnen des Schnittpunktes. 2) g und ε schneiden genau dann, wenn das Skaøarprodukt vom Richtungsvektor der Geraden mit dem Normaøvektor der Ebene ungøeich nuøø ist. 2·(1 – t) – (‒3 + 4 t) – (0 + 5 t) = 3 5 – 11 t = 3 w t = 2/11 w S “ 9 __ 11 † ‒ 25 __ 11 † 10 __ 11 § 242 Man berechnet den Winkeø φ zwischen dem Normaøvektor der Ebene und dem Richtungs- vektor der Geraden. Der gesuchte Winkeø ist dann † 90° – φ† . Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv