Reichel Mathematik 6, Schulbuch

266 Räumliche Koordinatengeometrie Kompetenzcheck – Lösungen 1 221‒222: Pyramide und Würfeø stehen jeweiøs auf π 1 . A ( 2 1 2 1 0 ) B ( 6 1 2 1 0 ) C ( 6 1 6 1 0 ) D ( 2 1 6 1 0 ) S ( 4 1 4 1 5 ) 221 Auf kariertem Papier mit Verkürzungswinkeø 45° und Verkürzungsverhäøtnis 1 __ 9 __ 2 . A ( 6 1 0 1 0 ) B ( 6 1 4 1 0 ) C ( 2 1 4 1 0 ) D ( 2 1 0 1 0 ) E ( 6 1 0 1 4 ) F ( 6 1 4 1 4 ) G ( 2 1 4 1 4 ) H ( 2 1 0 1 4 ) 222 Für Punkte in der 1 Grundrissebene giøt: z = 0 2 in der Aufrissebene giøt: x = 0 3 in der Kreuzrissebene giøt: y = 0 223‒228: Gegeben waren die Punkte A (1 1 ‒1 1 2), B (‒4 1 3 1 0) und C (‒4 1 ‒ 1 1 2). Die „Spitze minus Schaft“-Regeø øiefert: __ À AB = (‒5 1 4 1 ‒2) und __ À BA = (5 1 ‒4 1 2) 223 Sie stimmen stets in Betrag und Richtung über- ein und unterscheiden sich in der Orientierung. 1 A + __ À AB = (‒4 1 3 1 0) 2 B + __ À BA = (1 1 ‒1 1 2) 224 Gemäß der APPEND-Regeø ergibt sich stets der Punkt 1 B, 2 A. † __ À AB † = 9 ____________ (‒5) 2 + 4 2 + (‒2) 2 = 9 __ 45 = 6,71 225 Auf den pythagoreischen Lehrsatz, das Ergebnis ist die Quadratwurzeø aus __ À AB· __ À AB. Dh.: Das skaøare Produkt eines Vektors mit sich seøbst øiefert das Quadrat seines Betrages. 1 im Grundriss: __ À AC = (‒5 1 0 1 0) 2 im Aufriss: __ À BC = (0 1 ‒4 1 2) 3 im Kreuzriss: __ À AC = (‒5 1 0 1 0) 226 Einzeøne Koordinaten müssen nuøø sein. Wahre Länge im Grundriss, wenn z = 0 ist; im Aufriss, wenn x = 0 ist; im Kreuzriss, wenn y = 0 ist. 3· __ À AB – 2· __ À BC (‒10 1 0 1 0) __ À AB + __ À BC + __ À CA (0 1 0 1 0) ‒ __ À CA + __ À AC (‒15 1 20 1 ‒10) 227 __ À AB – __ À AC + 3· _ À X + 2·( __ À BA + __ À AC) = _ À o __ À AB – __ À AC + 3· _ À X – 2· __ À AB + 2 __ À AC = _ À o 3 _ À X – __ À AB + __ À AC = _ À o 3 _ À X = __ À AB – __ À AC = (‒5 1 4 1 ‒2) – (‒5 1 0 1 0) = (0 1 4 1 ‒2) _ À X = “ 0 † 4 _ 3 † ‒ 2 _ 3 § _ À a = __ À AB = (‒5 1 4 1 ‒2) _ À b = __ À AC = (‒5 1 0 1 0) cos α = _ À a· _ À b _____ † _ À a † · † _ À b † = ‒5·(‒5) + 4·0 – 2·0 ____________ 9 __ 45 ·5 ≈ 0,75 w α ≈ 41,81° 228 Zwei Vektoren sind genau dann zueinander orthogonaø, wenn ihr skaøares Produkt nuøø ist. z y A B C D S x 1 1 1 z y C D A F B G H E x 1 1 1 z y x 1 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv