Reichel Mathematik 6, Schulbuch

256 Reelle Funktionen 7 Ausgehend von der durch die Sinusfunktion dargestellten periodischen Grundschwingung kann man nun alle Schwingungsvorgänge, die sich durch die Funktionsgleichung y = a·sin (b·(x + c)) beschreiben lassen, schrittweise durch Änderung 1 der Phase, 2 der Frequenz und 3 der Amplitude – in die- ser Reihenfolge! – leicht zusammensetzen oder auch untersuchen. Erøäutere anhand der Funktion y = 8 _ 5 ·sin “ 2· “ x + π _ 6 § § ! 1031 Die Zuordnung f ist jeweiøs durch Zusammensetzen der Komponenten f 1 und f 2 entstanden. Überprüfe anhand einer Zeichnung, wie sich die (Un-)Stetigkeit von f 1 und f 2 auf f überträgt! a f 1 : y = sgn x 2 f 2 : y = sgn (‒x) 2 f = f 1 + f 2 b f 1 : y = sgn x f 2 : y = † x † f = f 1 ·f 2 1032 Beweise durch den Rückgriff auf die Sätze über Foøgengrenzwerte, dass a die Differenz, b das Produkt stetiger Funktionen stetig ist! 1033 Begründe die Stetigkeit a der Potenzfunktionen, b der Poøynomfunktionen! 1034 Entwickøe die Funktionsgraphen schrittweise (dh. zeichne zuerst f 1 , mit dessen Hiøfe dann f 2 und mitteøs f 2 schøießøich f 3 )! Untersuche jede der drei Funktionen auf Stetigkeit und stetige Fortsetzbarkeit hin! Gib für f 2 und f 3 eine stückweise Definition an! a f 1 : y = sin x f 2 : y = sgn sin x f 3 : y = 1 ______ sgn sin x b f 1 : y = 9 ____ † x – 1 † f 2 : y = sgn 9 ____ † x – 1 † f 3 : y = 1 _______ sgn 9 ____ † x – 1 † 1035 Wie Aufg. 1034. Aus weøchen Funktionen wird die gesuchte entwickeøt? a y = sin 3 x b y = sin 2x __ 3 c y = cos 2 x d y = cos x _ 2 e y = sin “ x – π _ 2 § f y = sin “ x + π _ 3 § g y = cos “ x – π _ 3 § h y = cos “ x + π _ 2 § 1036 Zeichne den Graphen in drei Schritten! a y = 2·sin “ 1 _ 2 · “ x – π _ 3 § § b y = 0,5·sin “ 2· “ x + π _ 4 § § 1037 Kreuze die richtige(n) Antwort(en) für die harmonische Schwingung y = a·(sin b·(x + c)) an! 1 Die Frequenz erhöht man durch Vergrößerung von. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Die Periodenøänge verkøeinert man durch Verkøeinerung von . . . . . . . . . 3 Eine Verschiebung des Graphen øängs der x-Achse bewirkt . . . . . . . . . . 4 Eine Verschiebung des Graphen øängs der y-Achse bewirkt . . . . . . . . . . 5 Eine Streckung/Stauchung øängs der x-Achse bewirkt . . . . . . . . . . . . . . . 6 Eine Streckung/Stauchung øängs der y-Achse bewirkt . . . . . . . . . . . . . . . 1038 Skizziere die Graphen der durch ihre Funktionsterme gegebenen Funktionen! a 1 2 x 2 2 x + 1 3 2 x – 1 b 1 2·2 x 2 3·2 x 3 0,5·2 x c 1 øg x 2 øg (x + 1) 3 øg (x – 1) d 1 2·øg x 2 3·øg x 3 0,5·øg x 1039 Gib ein Computerprogramm an, weøches in [‒2 π ; 2 π ] a die harmonische Schwingungskurve zu dem wähøbaren Parametertripeø (a, b, c) zeichnet, b die Kurvenschar von harmonischen Schwingungen zeichnet, wenn einer der Parameter in einem wähø- baren Intervaøø øäuft und die anderen Parameter den Wert 1 haben! y = sin (2 (x + )) y = sin (2 (x + )) 1 1,6 –1 –1,6 0 y = sin (x + ) y = sin x ÿ 6 – Ā 6 2 ÿ 6 5 ÿ 6 8 ÿ 6 x y g 2 : Ā 6 8 5 f: Ā 6 g 1 : ÿ 2 ÿ 11 ÿ 6 Fig. 7.22 F 7.22 a b c 150501-256 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv