Reichel Mathematik 6, Schulbuch

253 7.6 Zusammensetzung und Verkettung von Funktionen 7 Zusammensetzung und Verkettung von Funktionen In Beispiel S haben wir die Funktion f in zwei einfacher zu behandelnde Funktionen zerlegt und aus deren asymptotischen Verhalten auf das asymptotische Verhalten der Funktion f geschlossen. Wir wollen nun umgekehrt gewisse „einfache“ Funktionen zu „komplizierten“ Funktionen zusammen- setzen , wie es beim Bilden mathematischer Modelle immer wieder benötigt wird. Betrachten wir etwa die Bewegung eines Balls, der mit der Anfangsgeschwindigkeit v aus der Aus- gangshöhe 0 lotrecht in die Höhe geworfen wird. Vernachlässigen wir die Luftreibung und setzen konstante Erdbeschleunigung g voraus, so kann die sich im Laufe (dh. in Abhängigkeit von) der Zeit t kontinuierlich ändernde Höhe h des Balls durch die quadratische Funktion h = v·t – g/2·t 2 modelliert werden, also durch Zusammensetzung zweier sehr einfacher Vertreter von Potenzfunktionen. Erøäutere anhand von Fig. 7.18! 1. Funktionen zusammensetzen und verketten Das Zeichnen von Funktionsgraphen sehr komplizierter Funktionen allein durch „intuitives“ Verbinden „aufeinander folgender“ Punkte kann mitunter problematisch sein. Oft kann man diese Probleme da- durch umgehen, dass man das Baukastenprinzip anwendet. Dabei setzt man die gesuchte (komplizier- te) Funktion aus schon bekannten (einfacheren) Funktionen zusammen. Wir erläutern diese Vorgangs- weise am Beispiel T Zeichne den Graphen der Funktion f: y = sgn (x + † x † ) · (x 2 + 1)! Lösung: Wir zeichnen den Graphen in drei Schritten: 1. Schritt: ¥ 2. Schritt ¥ 3. Schritt: x y 1 1 0 y = x + † x † x y 1 1 0 y = sgn (x + † x † ) x y 1 1 0 y = sgn (x + † x † )·(x 2 + 1) Bei der in Beispiel T vorgenommenen Zusammensetzung von Funktionen bildete man die Summenfunk- tion y = x + † x † der Teilfunktionen y = x und y = † x † , indem man an allen Stellen des gemeinsamen Defini- tionsbereichs D ( = R ) ihre Funktionswerte addierte, und ebenso das Produkt von y = sgn (x + † x † ) mit y = x 2 + 1 , indem man an allen Stellen des gemeinsamen Definitionsbereichs D ( = R ) das Produkt ihrer Funktionswerte bildete. Dh.: Die Zusammensetzung zweier Funktionen wurde durch die zugehörige Grundrechenoperation zwischen ihren Funktionswerten bewerkstelligt. Von gänzlich anderer Art war die Bildung von sgn (x + † x † ) . Begründe! Die Funktionswerte von y = x + † x † wurden als Argumente der Signumfunktion verwendet. Man sagt da- her: Die Signumfunktion wurde mit der Funktion y = x + † x † verkettet . 7.6 S 252 … das ist keine Wurfparabel! Fig. 7.18 h=20t – 5t 2 h t 1 2 3 4 0 10 80 150501-253 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv