Reichel Mathematik 6, Schulbuch

252 Reelle Funktionen 7 Wir präzisieren diese unscharfe Vorstellung durch die Definition Eine Funktion a: R ¥ R , y = a (x) heißt asymptotische Funktion an die Funktion f, wenn giøt: øim x ¥ + • † f (x) – a (x) † = 0 = øim x ¥ ‒ • † f (x) – a (x) † = 0 Bemerkungen: 1) Eine asymptotische Funktion mit linearer Funktionsgleichung heißt Asymptote . Ihr Graph ist eine Gerade. (Beispiel: Die x-Achse ist Asymptote der Funktion f: y = 1/x .) 2) Bei der Hyperbel y = 1/x oder der Tangensfunktion haben wir von senkrechten Asymptoten gespro- chen. Diese „Asymptoten“ sind von den durch die obige Definition angesprochenen Asymptoten prin- zipiell verschieden. Erkøäre die Unterschiede ! Beispiel S Beschreibe das Verhaøten der Funktion f: y = 2 x 4 – x 3 – 3x 2 ________ x 3 + 1 für x ¥ • und x ¥ ‒ • durch (eine) asymptotische Funktion(en)! Lösung: Wir zerøegen den Funktionsterm durch Poøynom- division wie foøgt: (2 x 4 – x 3 – 3 x 2 )(x 3 + 1) = 2 x – 1 2 x 4 + 2 x – x 3 – 3 x 2 – 2 x – x 3 – 1 – 3 x 2 – 2 x + 1 Rest w 2 x 4 – x 3 – 3 x 2 ________ x 3 + 1 = 2 x – 1 + ‒3 x 2 – 2 x + 1 ________ x 3 + 1 øim x ¥ ± • 2 x 4 – x 3 – 3 x 2 ________ x 3 + 1 = øim x ¥ ± • (2 x – 1) + øim x ¥ ± • ‒3 x 2 – 2 x + 1 ________ x 3 + 1 = øim x ¥ ± • (2 x – 1) + 0 1025 Erøäutere das Lösen der Beispieøe P bis R gemäß a S. 251, b der Regeø „Die höchste Potenz erschøägt die anderen”. Begründe die Regeø! Berechne dazu øim x ¥ • x n __ x m für n < m, n = m und n > m! 1026 Berechne die nachstehenden Grenzwerte! a øim x ¥ • x _____ x 2 + x + 1 b øim x ¥ • x + 3 ____ x 2 – 9 c øim x ¥ • 2x – 5 ____ 5x – 2 d øim x ¥ • 4 – x ____ 16 – x 2 e øim x ¥ • 1 – x 2 _______ 2x 2 + 4x – 6 f øim x ¥ • 4x 2 – x + 1 ______ 1 – x 2 g øim x ¥ • (x + 1) ‒1 h øim x ¥ • (1 – x) ‒1 1027 Untersuche, ob ein endøicher, ein uneigentøicher oder kein Grenzwert existiert! a øim x ¥ • sin x b øim x ¥ ‒ • cos x c øim x ¥ ‒ • sin x ___ cos x d øim x ¥ • cos x ___ sin x e øim x ¥ ‒ • 2 x f øim x ¥ • 1 __ 2 x g øim x ¥ • øg x h øim x ¥ • 1 ___ øg x 1028 Ermittøe eine asymptotische Funktion bzw. aøøe (auch senkrechten) Asymptoten! a y = 4 – x 2 ____ x 2 – 9 b y = x 2 + 4 ____ x 2 + 12 c y = 2x 3 ____ 4 – x 2 d y = 3x 3 ____ x 2 – 4 e y = x 3 – 2x ______ x 2 – x – 2 f y = x 3 + 3x _______ x 2 – 7x + 12 g y = x 4 ____ x 2 – 2 h y = x 5 ____ x 3 – x 1029 Erøäutere den Unterschied zwischen einer Asymptote und einer senkrechten Asymptote! 1030 a Erøäutere die foøgende Definition einer asymptotischen Funktion anhand einer Figur: „ … asymptotische Funktion an die Funktion f, wenn giøt: “ øim x ¥ • f(x) ___ a(x) = 1 § = “ øim x ¥ ‒ • f(x) ___ a(x) = 1 § “ b Dürfen die Graphen einer Funktion und ihrer asymptotischen Funktion einander schneiden? Wenn ja, gib ein konkretes Beispieø! A 1029 S 90 Man sieht: Sowohø für sehr große aøs auch für sehr køeine x verhäøt sich die Funktion f (im Wesentøichen) so wie die Funktion a: y = 2x – 1. Dh. a ist asymptotisch an f. 150501-252 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv