Reichel Mathematik 6, Schulbuch

251 7.5 Asymptotisches Verhalten von Funktionen 7 Asymptotisches Verhalten von Funktionen 1. Mit den Symbolen + • und ‒ • „rechnen“ Da wir mit den Symbolen + • bzw. ‒ • bloß ausdrücken, dass x unbeschränkt groß bzw. unbeschränkt klein wird, eignen sich diese Symbole nur bedingt zum „Rechnen“. So ist es wohl „klar“, dass • + 5 = • und • – 20 = • gilt, aber ebenso ist klar, dass die Umformung dieser „Gleichungen“ zu • – • = ‒5 bzw. • – • = 20 auf einen Widerspruch führt. Die „Subtraktion“ • – • und die „Division“ • / • sind nicht nur vom Wert her unbestimmte Ausdrücke , sondern auch von ihrer Bedeutung her. Dennoch kann man mit diesen Symbolen anhand der folgenden Regeln „vernünftig“ hantieren. Begründe anhand der Gra- phen in Beispieø K und L ! Regel 1) Wenn x ¥ ± • , dann giøt für jedes n * N *: 1 __ x n ¥ 0 2) Wenn x ¥ 0, dann giøt für jedes n * N *: 1 __ x n ¥ • oder 1 __ x n ¥ ‒ • 2. Grenzwerte einer Funktion für x ¥ + • und x ¥ ‒ • berechnen Beispiel P Berechne øim x ¥ • x 2 – 2 ____ x 3 ! Lösung: Bøoßes Einsetzen von • øiefert den unbestimmten Ausdruck • __ • . Formt man jedoch zu øim x ¥ • x 2 – 2 ____ x 3 = øim x ¥ • “ x 2 __ x 3 – 2 __ x 3 § = øim x ¥ • “ 1 _ x – 2 · “ 1 _ x § 3 § = øim x ¥ • 1 _ x – 2 · øim x ¥ • “ 1 _ x § 3 um, so kann man Regeø 1) anwenden und erhäøt: øim x ¥ • x 2 – 2 ____ x 3 = 0 – 2 · 0 = 0 Beispiel Q Berechne øim x ¥ ‒ • x 2 + 1 ____ x + 1 ! Lösung: Unmitteøbares Einsetzen von ‒ • øiefert den unbestimmten Ausdruck • __ ‒ • . Dividiert man Zähøer und Nenner durch x, so erhäøt man: øim x ¥ ‒ • x 2 + 1 ____ x + 1 = øim x ¥ ‒ • x + 1 _ x ____ 1 + 1 _ x = ‒ • – 0 ____ 1 – 0 = ‒ • Beispiel R Berechne øim x ¥ • x 2 + 2 _____ 2 x 2 – 3 x ! Lösung: Wieder kann man den beim bøoßen Einsetzen von • entstehenden Ausdruck • __ • umgehen. Man muss bøoß den Zähøer und den Nenner durch x 2 dividieren und Regeø 1) sowie die Regeøn über die Summe, die Differenz und den Quotienten konvergenter Foøgen anwenden: øim x ¥ • 1 + 2 __ x 2 ____ 2 – 3 _ x = 1 + 0 ___ 2 – 0 = 1 _ 2 Fasse den in den Beispieøen eingeschøagenen Lösungsweg mit eigenen Worten zusammen ! 3. Asymptotische Funktionen angeben Oft will man nicht nur angeben, dass eine Funktion f für x ¥ • gegen + • oder ‒ • oder c * R strebt, sondern auch wie (schnell) sie dorthin strebt. Der übliche Weg das auszudrücken ist eine geläufige „einfa- chere“ Funktion a anzugeben, die für x ¥ • das „gleiche Verhalten“ zeigt, sich also von der gegebenen Funktion f „wenig“ unterscheidet, und zwar umso weniger, je größer x wird. Analog kann man das Ver- halten von f für x ¥ ‒ • durch eine Funktion b angeben, die sich f im- mer mehr nähert (und die mit der Funktion a übereinstimmen kann). 7.5 S 248 A 1025 Fig. 7.17 x y y = f(x) f(x) – a(x) y = a(x) F 7.17 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv