Reichel Mathematik 6, Schulbuch

250 Reelle Funktionen 7 1016 Wie Aufg. 1014. a f: y = sgn (‒x 2 ) b f: y = sgn † x † c f: y = sgn (sin x) 2 d f: y = sgn † cos x † e f: y = sin 2x ____ cos x f f: y = sin 2x ____ sin x g f: y = tan x·cos x h f: y = cot x·sin x 1017 Gib die Definitionsøücken von f an und versuche mögøichst vieøe von ihnen stetig zu schøießen! Findest du einen einfacheren Term, der diese „neue“ Funktion g beschreibt? Weøche der Funktionen g øässt sich auf ganz R stetig fortsetzen? a f: y = x 2 – 4 ____ x 3 + 8 b f: y = x 2 – 1 ____ x 4 – 1 c f: y = x 4 – 5x 2 + 4 _______ x 2 – 1 d f: y = x 4 + 3x 2 – 4 _______ x 2 – 3x + 2 e f: y = tan x·cot x f f: y = tan x ___ cot x g f: y = sgn 1 ___ sin x h f: y = sgn 1 ___ cos x 1018 Wie Aufg. 1017. a f: y = (x – 1) n _____ (x – 1) m für 1 n > m, 2 n = m, 3 n < m b f: y = x _____ sgn(x n ) für 1 n * N u , 2 n * N g 1019 Durch das „Kürzen“ durch einen Term kann man hebbare Unstetigkeitssteøøen zum „Verschwinden“ bringen. Was bewirkt das „Erweitern“ mit Termen? Begründe deine Vermutung anhand eines geeigneten Beispieøs! 1020 Berechne für 1 x 0 = 0, 2 x 0 = π /2! Verwende nötigenfaøøs Additionstheoreme (vgø. Buch 5. Kø. S. 217) zum Umformen wie in Beispieø N ! a øim x ¥ x 0 sin x _____ cos(x/2) b øim x ¥ x 0 cos x _____ sin(x/2) 1021 Wie Aufg. 1020. a øim x ¥ x 0 sin 2x ______ 1 – cos 2 x b øim x ¥ x 0 sin 2x _____ 1 – sin 2 x 1022 Fig. 7.15 zeigt den Graphen der „Funktion“ f: y = cos 1 _______ (x + 1)(x – 1) , der offensichtøich zwei Osziøøation- steøøen besitzt. 1 Gib deren genaue Lage an und begründe diese! Ändere die Funktionsgøeichung (mögøichst wenig) so ab, dass die neue Funktion 2 eine weitere Osziøøationsteøøe, 3 genau vier zur y-Achse symmetrisch øiegende Osziøøationsteøøen besitzt! 1023 Wir haben Lücken, Sprünge, Unendøichkeits- und Osziøøationsteøøen aøs Steøøen kennen geøernt, wo die Stetigkeit der sonst „braven“ Funktion „unterbrochen“ ist. Wie steht es mit Knicksteøøen im Graphen? Ist die Funktion dort stetig oder unstetig? Begründe mit Bezugnahme auf die Definitionen von Stetigkeit und die øinks- und rechtsseitigen Grenzwerte anhand einer Skizze! 1024 Lies aus Fig. 7.16 eine stückweise Definition der Funktion ab! Wo ist die Funktion unstetig? Beschreibe die Art der Unstetigkeit! a Fig. 7.16a x y 1 1 0 b Fig. 7.16b x y 1 1 0 S 249 Fig. 7.15 x y 0,3 0,3 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv