Reichel Mathematik 6, Schulbuch

249 7.4 Probleme beim Lösen von Gleichungen – Therapie 7 2. Funktionsgrenzwerte bei Definitionslücken berechnen Falls der Funktionsgrenzwert von f an der Stelle x 0 überhaupt existiert, lässt er sich durch folgenden „Trick“ berechnen. Man betrachtet die stetige Fortsetzung _ f von f . Deren Funktionswert _ f (x 0 ) gibt den gesuchten Funktionsgrenzwert an. Beispiel N Berechne øim x ¥ 0 1 – cos 2 x ______ sin x ! Lösung: Rechnet man wie bei stetigen Funktionen, so erhieøte man wegen øim x ¥ 0 1 – cos 2 x ______ sin x = 1 – 1 ___ 0 = 0 _ 0 einen unbestimmten Ausdruck . Bei x 0 = 0 øiegt eine Definitionsøücke der zugehörigen Funktion f. Durch Umformen gemäß sin 2 x + cos 2 x = 1 und nachfoø- gendes Kürzen erhäøt man nämøich øim x ¥ 0 1 – cos 2 x ______ sin x = øim x ¥ 0 sin 2 x ____ sin x = øim x ¥ 0 sin x = 0 Beispiel O Berechne øim x ¥ 0 sgn x ____ x ! Lösung: Rechnet man wie bei stetigen Funktionen, so erhieøte man wegen øim x ¥ 0 sgn x ____ x = 0 _ 0 einen unbestimmten Ausdruck . Bei x 0 = 0 øiegt eine Definitionsøücke der zugehörigen Funktion f, die sich im Gegensatz zum vorangegangenen Beispieø nicht stetig schøießen øässt, weiø f dort über aøøe Grenzen wächst. Wir sagen: Die Funktion f hat bei x 0 = 0 den uneigentøichen Funktionsgrenzwert • und schreiben øim x ¥ 0 f (x) = • 1012 Besitzen die foøgenden Zuordnungen f: R ¥ R Definitionsøücken? Wo? Weøcher „Typ“ (Poøsteøøe, Osziøøationspunkt, hebbare Definitionsøücke) øiegt vor? Skizziere den Graphen von f! a 1 f: y = x – 1 ____ x 2 – 1 2 f: y = x 2 – 1 ____ x – 1 3 f: y = x 2 – 1 ____ x 2 – 1 b 1 f: y = † 1 ‒x 2 † 2 f: y = sgn † 1 – x 2 † 3 f: y = 1 _______ sgn † 1 – x 2 † c 1 f: y = tan x 2 f: y = 1 ___ tan x 3 f: y = tan “ 1 _ x § 1013 Zeichne die Funktionsgraphen von f, g und h und verifiziere, dass zwei der drei Terme den gøeichen Graphen beschreiben! Weøche zwei Terme sind das? Vergøeiche die Graphen hinsichtøich Definitions- øücken und Unstetigkeitssteøøen! a f: y = sgn (x 2 ) g: y = sgn x ____ sgn x h: y = sgn 9 __ x 2 b f: y = “ † x † __ x § 2 g: y = sgn † x † h: y = sgn 2 x c f: y = † x † __ x g: y = x __ † x † h: y = † x _ x † 1014 Gib die stetige Ergänzung _ f: R ¥ R von f 1 durch stückweise Definition, 2 durch einen einzigen Term an! a f: y = x 2 + x – 2 ______ x – 1 b f: y = x 2 + x – 6 ______ x – 2 c f: y = x 3 – 4x 2 + 4x ________ 2x – x 2 d f: y = x 3 – 3x 2 + 3x – 1 _________ (x – 1) 2 e f: y = x 3 + 4x 2 – x – 4 _________ x 2 + 5x + 4 f f: y = x 3 + 3x 2 – 4x – 12 __________ x 2 + 5x + 6 1015 Steøøe fest, ob die Unstetigkeit in a Beispieø I bei x 0 = 0, b Beispieø J bei x 0 = 1 hebbar oder unheb- bar ist! Begründe deine Antwort! … die Lücke muss geschlossen werden … S 244 150501-249 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv