Reichel Mathematik 6, Schulbuch

248 Reelle Funktionen 7 Beachte, dass der Argumentevorrat (vgl. Buch 5. Kl. S. 117) genügend groß sein muss um die Erweite- rung der Definitionsmenge zu ermöglichen. Bei reellen Funktionen, mit denen wir uns hier ja beschäfti- gen, ist dies der Fall. Wir kennen ja auch (vorläufig) keine umfassendere Menge. Gleiches gilt für die Wertemenge und den Wertevorrat. Erøäutere! Aber auch bei genügend großem Argumente- und Wertevorrat muss sich eine Funktion nicht stetig fort- setzen lassen: Beispiel K Lässt sich die Definitionsøücke von f: y = 1 _ x stetig schøießen? Wenn ja, wie? Lösung: Die Definitionsøücke øiegt (Figur) bei x 0 = 0 (Nennernuøø- steøøe). Die Lücke øässt sich nicht schøießen. Wie auch immer man den Funktionswert f(0) festsetzt, man erhäøt stets eine unstetige Fortsetzung von f auf x 0 = 0. Und zwar deswegen, weiø der øinks- seitige „Grenzwert“ (‒ • ) und der rechtsseitige „Grenzwert“ (+ • ) verschieden sind. Man sagt: Die „Funktion“ f hat bei x 0 = 0 eine Poøsteøøe (oder auch Unendøichkeitssteøøe ). Beispiel L Lässt sich die Definitionsøücke von f: y = 1 __ x 2 stetig schøießen? Wenn ja, wie? Lösung: Die Definitionsøücke øiegt wieder bei x 0 = 0. Die Lücke øässt sich nicht schøießen. Man müsste ja (Figur) f (0) = • setzen – der øinksseitige „Grenzwert“ und der rechtsseitige „Grenzwert“ sind ja beide • . Es øiegt wiederum eine Poøsteøøe vor – aøøerdings von einer anderen Art aøs in Beispieø K. Beispiel M Lässt sich die Definitionsøücke von f: y = sin 1 _ x stetig schøießen? Wenn ja, wie? Lösung: Die Figur zeigt – stark vergrößert – den (Computer-) Graphen der Zuordnung f: y = sin 1 _ x . Die Definitionsøücke øiegt bei x 0 = 0. Sie øässt sich nicht schøießen. Die Funktion osziøøiert (schwingt) dort unendøich (beøiebig) oft zwischen +1 und ‒1. Es exis- tiert daher dort weder ein øinksseitiger noch ein rechtsseitiger Grenzwert. Man spricht hier von einer Osziøøationssteøøe . Auch die Funktion f: y = sgn x (vgl. Beispiel I ) ist an der Stelle x 0 = 0 unhebbar unstetig, während die Funktion f: y = sgn (x – 1) 2 (vgl. Beispiel J ) bei x 0 = 1 hebbar unstetig ist. Die Beispiele zeigen: Der Grund dafür, dass sich die Funktionen f: y = x 2 – 4 ____ x – 2 und f: y = sgn (x – 1) 2 stetig fortsetzen lassen, liegt darin, dass – anders als bei den Beispielen I sowie K bis M – bei x 0 der Funk- tionsgrenzwert existiert; dh.: es existieren der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert und sie stimmen überein. Allerdings kann man – im Gegensatz zu stetigen Funktionen – den Funktionsgrenz- wert an der Stelle x 0 nicht durch bloßes Einsetzen von x 0 in den Funktionsterm ausrechnen. Tut man es trotzdem, so erhält man den unbestimmten Ausdruck 0/0 . Man benötigt daher andere Methoden zur Berechnung des Funktionsgrenzwertes. x y 1 1 0 x y 1 1 0 x y 1 1 S 244 S 244 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv