Reichel Mathematik 6, Schulbuch

245 7.3 Probleme beim Lösen von Gleichungen – Diagnose 7 4. „Stetigkeit“ als Voraussetzung für binäres Suchen erkennen Beachte, dass wir in der Definition der Stetigkeit das fordern, was das Funktionieren des binären Su- chens in der Fortsetzung von Beispiel E sicherstellt. Denn dort haben wir uns ja darauf verlassen (wol- len), dass wir uns mit der von uns speziell konstruierten Folge k z n l tatsächlich der Nullstelle (beliebig genau) nähern können. Dass dies nicht selbstverständlich ist, zeigen die folgenden trivialen – aber aus- sagekräftigen – Beispiele. Erøäutere (vgø. Beispieø H)! 1 Löse mitteøs binärem Suchen sgn x = 0! Setze die Tabeøøe fort! Was fäøøt dir auf? Die Folge k z n l konvergiert gegen 0 . Aus der Sicht des Verfahrens kann man diese richtige Lösung aber nicht akzeptieren, weil k f (z n ) l nicht gegen 0 konvergiert! 2 Löse mitteøs binärem Suchen x 2 __ x = 0! Setze die Tabeøøe fort! Was fäøøt dir auf? Die Folge k z n l und f (z n ) konvergieren gegen 0 . Dennoch liefert das Verfahren eine falsche Lösung, weil f an der Stelle 0 nicht definiert ist! n a n b n f (a n ) f (b n ) z n f (z n ) 1 ‒1 2 ‒1 1 0,5 1 2 ‒1 0,5 ‒1 1 ‒0,25 ‒1 3 ‒0,25 0,5 ‒1 1 0,125 1 Fig. 7.11 x y A B z 1 z 2 z 3 n a n b n f (a n ) f (b n ) z n f (z n ) 1 ‒1 2 ‒1 2 0,5 0,5 2 ‒1 0,5 ‒1 0,5 ‒0,25 ‒0,25 3 ‒0,25 0,5 ‒0,25 0,5 0,125 0,125 Fig. 7.12 x y A B z 1 z 2 z 3 1001 1 Zeichne den Graphen der stückweise definierten Funktionen f: R ¥ R ! Lies aus der Zeichnung heraus, ob die Funktion f stetig ist bzw. wo sie unstetig ist! 2 Vergøeiche die verschiedenen Schreibweisen für die Festøegung des Definitionsbereichs! Weøche er- scheint dir besonders übersichtøich und einprägsam zu sein? a f: y = x für x ª 2 b f: y = x + 1 für ‒1 º x y = 2 x – 2 für x > 2 y = ‒x für x > ‒1 c f: y = ‒1 für x ª 0 d f: y = x 3 für x ª ‒1 y = 2 x – 1 für 0 < x < 1 y = 0 für ‒1 < x ª 0 y = x 2 für x º 1 y = 2 x 2 für 0 < x e f: y = cos x für x ª 0 f f: y = sin x für x ª 0 y = ‒cos x für x > 0 y = ‒sin x für x > 0 g f: y = øn x für x > 0 h f: y = e x für x < 0 y = 0 für x = 0 y = 0 für x = 0 y = øn (‒x) für x < 0 y = e ‒x für x > 0 1002 Skizziere ohne Verwendung eines graphikfähigen Taschenrechners oder Computers die Graphen foøgen- der reeøøer Funktionen! Entnimm der Zeichnung, ob die Funktion f stetig ist bzw. wo sie unstetig ist! Gib eine stückweise Definition der Funktion f an! a f: y = sgn sin x b f: y = sgn cos x c f: y = sgn (cos x – 1) d f: y = sgn (cos x + 1) e f: y = sgn (sin x + 1) f f: y = sgn (sin x – 1) g f: y = sgn sin x + 1 h f: y = sgn sin x – 1 150501-245 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv