Reichel Mathematik 6, Schulbuch

244 Reelle Funktionen 7 Da in der Definition über die Folgen k x n l nichts ausgesagt wird – außer, dass sie gegen x 0 konvergieren – ist es völlig egal, wie die Annäherung an den Grenzwert x 0 erfolgt. Dieser Sachverhalt rechtfertigt die Definition Aøs Funktionsgrenzwert von f bei x 0 bezeichnet man den Ausdruck øim k x n l ¥ x 0 f (x n ) = øim x ¥ x 0 f (x) = øim Δ x ¥ 0 f (x ± Δ x), wobei hier Δ x = † x – x 0 † , x ≠ x 0 Es ist also † f(x n ) – f(x 0 ) † < ε für alle n > n 0 ( ε ) für ε > 0 . Aufgrund dieser Definition kann man den Funktionsgrenzwert bei x 0 einer stetigen Funktion einfach als Funktionswert f (x 0 ) berechnen. Beispiel H Berechne øim x ¥ 4 (3 x – 1)! Lösung: Aøs øineare Funktion beschreibt y = 3 x – 1 eine Gerade und die ist ja „fadenförmig“, aøso stetig. Daher giøt: øim x ¥ 4 (3 x – 1) = 3 · 4 – 1 = 11 3. Links- und rechtsseitige Grenzwerte bei Sprungstellen berechnen In Beispiel H haben wir über die Art der Annäherung an die Stelle 4 nichts ausgesagt, weil es völlig egal ist, ob man sich von links oder von rechts oder in Hin-und-Her-Sprüngen nähert. Bei Funktionen mit Sprungstellen ist dies anders, und hier zeigt die Definition von Stetigkeit auch ihre Aussagekraft: Beispiel I Ist f: [‒2; 2] ¥ R , y = sgn x stetig? Lösung: „Auffäøøig“ ist die Steøøe x 0 = 0. Nähert man sich der Steøøe x 0 = 0 von øinks – etwa gemäß der Foøge k x n l = k ‒1/n, n * N * l , so ist k f (x n ) l die konstante Foøge k ‒1; ‒1; … l , wor- aus foøgt: øim n ¥ • f (x n ) = ‒1 Man sagt: Der øinksseitige Grenzwert ist ‒1. Nähert man sich der Steøøe x 0 = 0 von rechts – etwa gemäß der Foøge k x n l = k 1/n, n * N * l , so ist k f (x n ) l die konstante Foøge k +1; +1; … l , woraus foøgt: øim n ¥ • f (x n ) = +1 Man sagt: Der rechtsseitige Grenzwert ist +1. Man sieht: Der øinksseitige und der rechtsseitige Grenzwert bei x 0 = 0 sind verschieden . Daher existiert dort der ( voøøe ) Funktionsgrenzwert nicht ; die Funktion ist bei x 0 = 0 unstetig . Man sagt: Die Signumfunktion besitzt bei x 0 = 0 eine Sprungsteøøe . Die Sprunghöhe , dh. die Differenz zwischen dem øinksseitigen und dem rechtsseitigen Grenzwert, beträgt 2. Beispiel J Ist f: [‒2; 2] ¥ R , y = sgn (x – 1) 2 stetig? Lösung: „Auffäøøig“ ist die Steøøe x 0 = 1. Dort ist der Funktionswert 0, sonst überaøø 1. Sowohø der øinksseitige aøs auch der rechtsseitige Grenzwert haben den Wert +1. (Denn für jede gegen x 0 = 1 konvergente Foøge k x n l ist k f (x n ) l die konstante Foøge k 1; 1; 1; 1; … l , die (triviaøerweise) gegen +1 konvergiert.) Daher existiert bei x 0 = 1 der Funktionsgrenzwert. Er stimmt jedoch nicht mit f (1) = 0 überein. Somit ist f bei x 0 = 1 unstetig . Man sagt: Der Graph der Funktion f besitzt bei x 0 = 1 einen „isoøierten Punkt“ (Einsiedøerpunkt). Offensichtlich zerlegen Unstetigkeitsstellen die gegebene Funktion in meist auffälliger Weise oft in ste- tige Teilfunktionen. Die „natürliche“ Beschreibungsform unstetiger Funktionen ist daher im Allgemei- nen eine stückweise Beschreibung (vgl. Buch 5. Kl. Kap. 5.4). x y ‒1 1 ‒1 1 x y ‒1 1 ‒1 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv