Reichel Mathematik 6, Schulbuch

243 7.3 Probleme beim Lösen von Gleichungen – Diagnose 7 Probleme beim Lösen von Gleichungen – Diagnose 1. Sprungstellen und Lücken als „Unstetigkeiten“ (er-)kennen In Kap. 7.2.1 haben wir Gleichungen graphisch gelöst. Betrachten wir die- ses Verfahren nochmals, nunmehr kritischer. Muss das Verfahren tatsäch- lich eine Nullstelle liefern? Berufen wir uns dabei nicht allzu sehr auf die Anschauung? Was wäre, wenn der Graph in Fig. 7.6 bei genügender Ver- größerung zeigt, dass er bei der vermeintlichen Nullstelle x 1 ≈ 0,8 in Wahr- heit die in Fig. 7.8a bzw. 7.8b gezeigte Gestalt hat? Erøäutere! Man sieht: Bei Funktionen, die „Sprungstellen“ oder „Lücken“ besitzen, kann das Verfahren versagen. Anders ausgedrückt: Nur dann, wenn der Graph „fadenförmig“ verläuft, können wir sicher sein, dass zwischen zwei auf verschiedenen Seiten der x-Achse liegenden Punkten mindes- tens eine Nullstelle liegt und dass man diese als Schnittpunkt des Gra- phen mit der x-Achse erhält. Mit noch anderen Worten: Der springende Punkt ist eine Eigenschaft, die manche Funktionen haben und andere nicht. Man nennt diese Eigenschaft Stetigkeit . Leider ist diese Eigenschaft (auch und besonders unter dem Einsatz moderner Hilfsmittel wie dem graphikfähigen Ta- schenrechner oder Computer) allein aus dem dargestellten Funktionsgraphen prinzipiell nicht ablesbar, weil der Graph am Bildschirm durch viele einzelne, diskret liegende Punk- te dargestellt wird, aber niemals wirklich kontinuierlich , fa- denförmig. Daher kann man „Lücken“ und „Sprünge“ so nicht erkennen. Erøäutere anhand von Fig. 7.9! Kennst du Geräte, die (auch) kontinuierøiche Kurven zeichnen kön- nen ? 2. Den Begriff „Stetigkeit“ definieren Definition Eine Funktion f heißt stetig bei x 0 , wenn øim x ¥ x 0 f (x) mit dem Funktionswert f (x 0 ) übereinstimmt. Eine Funktion f heißt stetig , wenn sie an aøøen Steøøen x 0 ihres Definitionsbereiches stetig ist. Bemerkung: Die Definition der Stetigkeit bei x 0 besagt also, dass man bei Annäherung x ¥ x 0 eine Folge von Werten f (x) erhält, die gegen f (x 0 ) konvergieren . Dabei wird über die spezielle Art der Annäherung nichts gesagt, vielmehr muss es für jede Art der Annäherung gelten. Gibt es ei- ne, für die das nicht stimmt, so ist f eben bei x 0 nicht stetig (und damit auch als Ganzes nicht stetig). Unter expliziter Einbeziehung von Folgen lässt sich der Begriff Funktionsgrenzwert und die Eigenschaft „Stetigkeit“ daher wie folgt definieren. Definition Eine auf einem Intervaøø [a; b] definierte Funktion f heißt stetig bei x 0 * [a; b], wenn für jede gegen x 0 konvergente Foøge k x n l auch die Foøge der Funktionswerte k f (x n ) l gegen f (x 0 ) konvergiert. Andernfaøøs heißt sie unstetig bei x 0 . f heißt stetig im Intervaøø [a; b], wenn f bei jedem x 0 * [a; b] stetig ist, sonst unstetig . Formaø: f stetig in [a; b] É Å x 0 * [a; b] und Å k x n l mit øim n ¥ • x n = x 0 giøt: øim n ¥ • f (x n ) = f (x 0 ) 7.3 Fig. 7.8a x y 1 0 1 S 238 Fig. 7.8b x y 1 1 0 Fig. 7.9 A 1005 Fig. 7.10 x y 1 1 0 F 7.10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv