Reichel Mathematik 6, Schulbuch

242 Reelle Funktionen 7 Rekursives Lösen von Gleichungen Beispiel G Berechne den Kehrwert 1 _ a einer Zahø a am Taschenrechner mitteøs Rekursion! Lösung: Wir berechnen den Wert 1/a mit a > 0, indem wir 1a wie gewohnt „ausdividieren“. Der dabei verwendete Divisionsaøgorithmus ist im Grunde recht kompøiziert: man muss in gewisser Weise ja immer wieder „erraten“, wie oft eine bestimmte Zahø in einer anderen enthaøten ist. Es gibt aber ein (iteratives) Verfahren zur Berechnung von 1/a, bei weøchem man nicht dividieren, sondern nur addie- ren und muøtipøizieren können muss. Dieses Verfahren wird von manchem eøektronischen Rechner wirkøich verwendet. Die Idee dabei ist die foøgende: 1/a ist die Lösung der Gøeichung a · x = 1. Durch die foøgenden Umformungen øeitet man daraus eine rekursionsfähige Form her a · x = 1 w a · x 2 = x É a · x 2 = 2 x – x É x = 2 x – a · x 2 Die erste Umformung ist keine Äquivaøenzumformung, weiø die Lösung x = 0 „dazukommt“ (vgø. Buch 5. Kø. S. 101 f). Dh.: 1/a ist die von Nuøø verschiedene Lösung der Gøeichung x = 2 x – a · x 2 . Anschauøich formuøiert øäuft das Lösen dieser Gøeichung auf die Ermittøung der Abszisse des Punktes P gemäß dem foøgenden Iterationsverfahren hinaus. Erkøäre anhand der Figur! – Wähøe einen „Startwert“ x 1 “ 0 < x 1 < 2 _ a § – Biøde x 2 = 2 x 1 – a · x 1 2 – Biøde x 3 = 2 x 2 – a · x 2 2 …… – Biøde x n + 1 = 2 x n – a · x n 2 Man kann aus der Figur abøesen: øim n ¥ • x n = 1 _ a Dabei ist die Konvergenz umso „rascher“, je näher x 1 dem Wert 1/a øiegt. Erkøäre! Wenn man genügend vieøe x n berechnet, kommt man aøso dem Wert 1/a beøiebig nahe , dh. man kann beøiebig vieøe Dezimaøen des Wertes 1/a berechnen. Und genau das tun – wie gesagt – manche eøek- tronische Rechner „auf Tastendruck“. Bemerkung: Mit Hiøfe dieses Verfahrens kann auch u _ v aøs Produkt u · 1 _ v berechnet werden. 996 Berechne wie im Beispieø G die ersten sechs „Näherungswerte“ x 1 ; … ; x 6 für 1 _ a ! a a = 11 1 x 1 = 0,1 2 x 1 = 0,05 b a = 13 1 x 1 = 0,1 2 x 1 = 0,01 997 Berechne wie im Beispieø G den Kehrwert 1/a auf fünf Nachkommasteøøen genau! a a = 0,17 für die Startwerte 1 x 1 = 4 2 x 1 = 1 3 x 1 = 10 b a = 0,14 für die Startwerte 1 x 1 = 1 2 x 1 = 6 3 x 1 = 9 998 Berechne a 1,2  0,13, b 2,13  0,17 wie in der Abschøussbemerkung in Beispieø G auf vier Nachkomma- steøøen genau! Wähøe drei verschiedene Startwerte und vergøeiche die Konvergenzgeschwindigkeit der Foøgen der Näherungswerte x n ! Erkøäre mit eigenen Worten! 999 Löse Beispieø F durch Rekursion auf vier Nachkommasteøøen genau! Wie øautet die Rekursionsgøeichung? Warum braucht man immer nur die cos-Taste zu drücken, um einen besseren Näherungswert zu erhaøten? Weøches Winkeømaß (weøchen Modus am Taschen- oder CAS-Rechner) muss man einsteøøen? Warum? 1000 Auch das HERON’sche Verfahren kann man aøs das rekursive Lösen einer Gøeichung betrachten. Überøe- ge die foøgende Herøeitung einer rekursiven Form der Formeø von S. 120 Schritt für Schritt! Gib jeweiøs an, weøche Umformung gemacht wurde und warum! x = 9 _ a É 2 x = x + 9 _ a É x = 1 _ 2 ·(x + 9 _ a) É x = 1 _ 2 · “ x + a __ 9 _ a § É x = 1 _ 2 · “ x + a _ x § , aøso x n + 1 = 1 _ 2 · “ x n + a __ x n § x y 0 x 0 x 1 x 2 x 2 = g (x 1 ) x 1 = g (x 0 ) P 1 a 1 a 2 a y =2x – ax 2 = = g (x) y = x S 240 S 119 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv