Reichel Mathematik 6, Schulbuch

240 Reelle Funktionen 7 Die Brauchbarkeit (Güte) eines Näherungsverfahrens steht und fällt also mit der Geschwindigkeit der Konvergenz der Folge k z n l gegen x 0 . Die Beurteilung der Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens er- fordert Genauigkeitsüberlegungen . Man will wissen, ob † z n – x 0 † eine vorgegebene Genauigkeitsschran- ke ε bereits unterschreitet oder ob weitere (bessere) Näherungswerte berechnet werden müssen. Im Falle einer strikten Intervallhalbierung 1 lässt sich für unser Verfahren leicht eine Ungleichung für den n-ten Fehler e n = † z n – x 0 † finden. Gibt man nämlich als n-ten Näherungswert der wahren Nullstelle x 0 den Halbierungspunkt z n des n-ten „Schran- kenintervalls“ † b n – a n † an, dann gilt : e n = † z n – x 0 † < † b n – a n † _____ 2 = 1 __ 2 n · † b 1 – a 1 † Kennt man also a 1 und b 1 , so kann man zB durch Probieren mit dem Taschenrechner – besser: durch Logarithmieren der Ungleichung – feststellen, wie groß n (mindestens) sein muss, damit der Fehler e n mit Sicherheit kleiner als eine vorgegebene Genauigkeitsschranke ε ist: Beispiel E (Fortsetzung) Wie vieøe Gøieder muss man mindestens berechnen, damit – ausgehend von a 1 = 0 und b 1 = 1 – der Fehøer e n køeiner aøs ε = 0,01 ist? Lösung: e n < ε É 0,5 n · † b 1 – a 1 † = 0,5 n · † 1 – 0 † = 0,5 n < 0,01 n · øg 0,5 < øg 0,01 ! øg 0,5 (øg 0,5 ist negativ, daher dreht sich das Køeiner-Zeichen um) n > øg 0,01 ____ øg 0,5 n > 6,64… Dh., man muss mindestens sieben Schritte durchführen. Bemerkung: In der 1. Fortsetzung von Beispiel E haben wir eine in der Praxis übliche Methode zur Bestimmung der (geforderten) Genauigkeit angegeben. Sie funktioniert aber erst im Nachhinein , wenn also die Rechnungen bereits durchgeführt sind. Die in der 2. Fortsetzung von Beispiel E (siehe oben) be- schriebene Methode gestattet es aber schon unmittelbar nach Wahl von a 1 und b 1 (also noch bevor ge- rechnet wird) anzugeben, wie viele Näherungswerte man bestimmen wird müssen, um eine vorgegebe- ne Genauigkeit zu erreichen. Erøäutere! 983 Bestimme die Lösungen der Gøeichung auf zwei Nachkommasteøøen genau! Rate zuerst, wo die (übrigens einzige) Lösung øiegen könnte! Verwende sodann eine Skizze! a x 3 + 2 x – 8 = 0 b x 3 – 2 x – 5 = 0 c x 3 + 2 x 2 + 3 = 0 d x 3 – 3 x 2 – 1 = 0 984 Löse (mitteøs Transparentpausen der Graphen auf S. 234) graphisch und überprüfe die Lösung(en) am Taschenrechner! a sin x = ‒0,4 b sin x = 0,6 c cos x = 0,4 d cos x = ‒0,6 e tan x = 2,2 f tan x = ‒0,8 Beispiel F Löse cos x = x graphisch in [‒ π ; π ]! Lösung: Steht kein Computer zu Verfügung, so zeichnen wir zunächst wie gewohnt auf kariertem Papier (oder Miøøimeter- papier) den Graphen der Funktion y = x, aøso die 1. Mediane. Darüber øegen wir passend eine Transparentpause von Fig. 7.3b. Beim (offensichtøich einzigen ) Schnittpunkt der beiden Graphen øesen wir ab: L = {0,75} 1 Im Computerjargon spricht man von binärem Suchen . Die Silbe „Bi“ deutet oft auf „zwei“ hin (Bihänder, Bigamie, … ); hier geht es beim „Halbieren“ der Intervalle um die Division ihrer Länge durch zwei bzw. um das Einschranken der Nullstelle zwischen zwei Punk- te bzw. um die Berechnung einer weiteren Stelle in der Binärdarstellung (Dualdarstellung) der Nullstelle am Computer. Fig. 7.7 x x 0 z n b n a n b n – a n 2 b n – a n 2 F 7.7 S 239 x y 1 1 0 x 0 = 0,75 y = x y = cosx 150501-240 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv