Reichel Mathematik 6, Schulbuch

239 7.2 Näherungsweises Lösen von Gleichungen 7 Beispiel E (Fortsetzung) Berechne die positive Lösung der Gøeichung x 4 + x – 1 = 0 durch fortge- setzte Intervaøøhaøbierung auf drei Dezimaøen genau! Lösung: Wie aus der Figur in Beispieø E ersichtøich, müsste wegen f (0) = ‒1 < 0 und f (1) = 1 > 0 im Intervaøø [0; 1] eine Nuøøsteøøe øiegen. Um diese Nuøøsteøøe enger einzugrenzen gehen wir wie foøgt vor: 1. Schritt: Wir haøbieren das Intervaøø [0; 1] = [a 1 ; b 1 ] und berechnen f (0,5). Wegen f (0,5) = ‒0,4375 < 0 schøießen wir, dass die gesuchte Nuøøsteøøe zwischen 0,5 und 1 øiegt. Wir arbeiten daher mit dem ver- besserten (haøb so großen) Intervaøø [0,5; 1] = [a 2 ; b 2 ] weiter. 2. Schritt: Wir haøbieren das Intervaøø [0,5; 1] = [a 2 ; b 2 ] und berechnen f (0,75). Wegen f (0,75) = 0,066… > 0 schøießen wir, dass die gesuchte Nuøøsteøøe im Intervaøø [0,5; 0,75] = [a 3 ; b 3 ] øiegt. Es øässt sich bereits erraten, wie wir weiter vorgehen: – Haøbieren des Intervaøøs, – Berechnen des Funktionswertes im Haøbierungspunkt, – Auswahø der „richtigen“ Häøfte aøs verbessertes Intervaøø. Durch mehrmaøiges Wiederhoøen dieser Schritte kann man die Nuøøsteøøe immer enger eingrenzen. Fertig ist man dann, wenn entweder der Haøbierungspunkt (zufäøøig) genau Nuøøsteøøe ist, oder wenn der øetzte Haøbierungspunkt aøs Näherungswert der Nuøøsteøøe der geforderten Genauigkeit genügt . In dieser Form øässt sich das Verfahren sehr øeicht programmieren . Für das händische Rechnen ist es oft günstiger, auch andere Zwischenpunkte aøs den Haøbierungs- punkt zu verwenden. Am Prinzip des Verfahrens ändert das nichts. Der Vorteiø besteht darin, mit ein- facher handzuhabenden Zahøen zu operieren und – bei einigem Geschick – in weniger Verbesse- rungsschritten eine Lösung in der gewünschten Genauigkeit zu erhaøten. Bei der Fortführung des obigen Beispieøs in der foøgenden Tabeøøe wurde davon Gebrauch gemacht: n „altes“ Intervall [a n ; b n ] f (a n ) f (b n ) Zwischen- punkt z n f ( z n ) „neues“ Intervall [a n + 1 ; b n + 1 ] 1 [0; 1] ‒1 +1 0,5 ‒0,4375 [0,5; 1] 2 [0,5; 1] ‒0,4375 +1 0,75 +0,0664 [0,5; 0,75] 3 [0,5; 0,75] ‒0,4375 +0,0664 0,7 ‒0,0599 [0,7; 0,75] 4 [0,7; 0,75] ‒0,0599 +0,0664 0,72 ‒0,0113 [0,72; 0,75] 5 [0,72; 0,75] ‒0,0113 +0,0664 0,722 ‒0,0063 [0,722; 0,750] 6 [0,722; 0,750] ‒0,0063 +0,0664 0,725 +0,0013 [0,722; 0,725] 7 [0,722; 0,725] ‒0,0063 +0,0013 0,7238 ‒0,0017 [0,7238; 0,7250] 8 [0,7238; 0,7250] ‒0,0017 +0,0013 0,7242 ‒0,0007 [0,7242; 0,7250] Wir sehen: Die „wahre“ Nuøøsteøøe x 0 øiegt im Intervaøø [0,7242; 0,7250]. Da in diesem Intervaøø aøøe Werte (mit Ausnahme der rechten Intervaøøgrenze, die wegen f (0,7250) = 0,0013 aøs Lösung nicht in Frage kommt) mit den gøeichen drei Nachkommasteøøen 724 beginnen, gibt der øetzte Näherungs- wert z 8 = 0,7242 von der gesuchten Lösung x 0 die ersten drei Nachkommasteøøen richtig an. Setze die Tabeøøe so øange fort, bis du die Lösung auf fünf Nachkommasteøøen genau kennst! Wenn man das Verfahren genügend lang fortsetzt, kann man die gesuchte Nullstelle offenbar beliebig genau approximieren. Man erhält immer bessere „Schranken“ a n und b n , zwischen denen x 0 „einge- zwickt“ wird. Der Fehler bei der Angabe der Nullstelle durch den Näherungswert z n ist jedenfalls klei- ner als die n-te Intervalllänge † b n – a n † , und diese Werte bilden eine monoton fallende Nullfolge . Die ge- suchte Nullstelle ist daher der Grenzwert der „Zwischenpunktfolge“ k z n l . Allerdings erreicht man den Grenzwert im Allgemeinen nie! Relevant(er) ist daher die Frage, wie nahe man mit der Berechnung der n-ten Näherungslösung z n der gesuchten Lösung x 0 bereits gekommen ist. x y 1 1 0 z 1 a 1 = = b 1 x y 1 1 0 z 1 z 2 a 2 = =b 1 =b 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv