Reichel Mathematik 6, Schulbuch

238 Reelle Funktionen 7 Näherungsweises Lösen von Gleichungen Eine grundlegende und immer wieder gestellte Aufgabe ist das Lösen von Gleichungen. Für „einfache“ Typen von Gleichungen – wie zB lineare oder quadratische Gleichungen – sind Lösungsformeln zum Berechnen der exakten Lösung(en) bekannt. Für „kompliziertere“ Gleichungen – denke etwa an die al- gebraische Gleichung x 5 ‒ 2 x = 7 oder an die Exponentialgleichung 2 x – x = 5 oder an die goniometri- sche Gleichung cos x – x = 0 – haben wir bisher keine solchen „exakten“ Lösungsformeln kennen ge- lernt. Meist gibt es auch gar keine! Weøche Methoden kennst du bereits, um auch soøche Gøeichungen zu øösen? Zur Wahl stehen: – (Systematisches) Probieren und Schätzen (auch das verlangt neben Geschick einige theoretische Kenntnisse) – graphische Näherungsverfahren (vgl. Buch 5. Kl. S. 120) – numerische Näherungsverfahren (vgl. Kap. 4.0 und 4.3) 1. Gleichungen (durch Ermitteln der Nullstellen) graphisch lösen Beispiel E Löse die Gøeichung x 4 + x – 1 = 0 in R ! Lösung: Wir ermitteøn die Nuøøsteøøe(n) der Poøynomfunktion y = x 4 + x – 1 aøs Schnittpunkt(e) ihres Graphen mit der x-Achse (den wir mitteøs Wertetabeøøe skizzieren). Diese Nuøøsteøøen øiefern die Lösungen x 1 ≈ 0,8 und x 2 ≈ ‒1,3. Wie allerdings eine Probe lehrt, sind diese „Lösungen“ doch recht ungenau: f (0,8) ≈ 0,2 und f (‒1,3) ≈ 0,6 Durch Zoomen , dh. durch Verwendung eines größeren Zeichenmaßstabes und einer dichteren Wertetabelle, lässt sich die Ablesegenauigkeit stei- gern . Besonders einfach gestaltet sich dies bei Verwendung von Computern oder von grafikfähigen Taschenrechnern wie dem TI-92. Allerdings nützt man im Falle eines höheren Genauigkeitsanspruches statt graphischer lie- ber gleich den nSolve-Befehl am TI-92 oder TInspire oder etwa numeri- sche Näherungsverfahren wie das folgende. 2. Gleichungen (durch das Intervallhalbierungsverfahren) numerisch lösen Auch wenn es hier um das näherungsweise Berechnen der Lösung(en) in Beispiel E geht, wollen wir an das obige graphische Ermitteln von Lösungen anschließen, weil das folgende Verfahren damit sofort „einsichtig“ wird. Zunächst bezeichnen wir zwecks einheitlicher Sprechweise ab nun die ins Auge ge- fasste gesuchte Lösung (Nullstelle) stets mit x 0 . In Beispiel E war sie noch mit x 1 bzw. x 2 beschriftet. Da wir x 0 nicht „direkt“, dh. in geschlossener Form (etwa durch eine Formel) berechnen können, versuchen wir sie eben näherungsweise mit immer größerer Genauigkeit, letztlich also beliebiger Genauigkeit , an- zugeben. Hier (wie meist auch sonst) bedeutet dies ein Verfahren zu finden, das eine gegen x 0 konver- gierende Folge – nennen wir sie zB k z n l – „produziert“. Die Glieder z n dieser Folge sind dann die (immer besser entsprechenden) „Näherungswerte“ für x 0 . Das im Folgenden beschriebene Intervallhalbierungsverfahren geht rein anschaulich davon aus, dass zwischen zwei Kurvenpunkten, von denen einer oberhalb und einer unterhalb der x-Achse liegt, (min- destens) ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse liegt. Das Verfahren besteht nun darin, das In- tervall, in dem dieser Schnittpunkt liegt, schrittweise immer enger einzuschnüren 1 . 1 Vergleiche die analogen Überlegungen beim Wurzelziehen mittels Einschrankens in Buch 5. Kl. S. 66! 7.2 x x 2 x 1 y 1 1 0 x y 1 1 0 Fig. 7.6 F 7.6 150501-238 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv