Reichel Mathematik 6, Schulbuch

235 7.1 Winkel- und Kreisfunktionen 7 3. Kreisfunktionen als Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen kennen Besondere Beachtung verdienen die Bijektivitätsbereiche , weil die Um- kehrfunktionen arcsin , arccos , arctan , … der Funktionen sin , cos , tan , … nur innerhalb dieser Bereiche existieren. Nur unter Bezugnahme auf einen dieser Bereiche kann der Taschenrechner ein eindeutiges Ergebnis anzeigen. ZB wird (vom Taschenrechner) für den Arcussinus üblicher- weise der Bijektivitätsbereich [‒ π /2; π /2] š [‒90°; 90°] verwendet. Dem- gemäß wird etwa bei Eingabe von inv sin ‒0,5 der Winkel ‒0,5236 rad š ‒30° ausgegeben. Erøäutere anhand von Fig. 7.4 und steøøe fest, weøche Bijektivitätsbereiche dein Taschenrechner für die Sinus-, Cosinus- bzw. Tangensfunktion verwendet! 4. Goniometrische Gleichungen lösen Besondere Bedeutung erhält der Begriff „Periodizität“ beim Lösen einer goniometrischen Gleichung , worunter man eine Gleichung versteht, bei der ein Winkel ( φ bzw. x ) die Unbekannte (Variable) ist. So nicht anders verlangt, wird die Lösung stets im Bogenmaß für G = R angegeben: Beispiel B Gib aøøe Winkeø φ (ausnahmsweise in Aøtgrad) an, für die sin φ = 0,4403 ist! Vergøeiche mit Buch 5. Kø. S. 207 Beispieø N! Lösung: Die unendøich vieøen Lösungen erhäøt man aus dem Taschenrechner-Ergebnis mitteøs der Re- duktionsformeøn wie foøgt: φ 1 = 26,12° φ 2 = 180° – 26,12° = 153,88° φ 3 = 26,12° + 1·360° = 386,12° φ 4 = 153,88° + 1·360° = 513,88° φ 5 = 26,12° + 2·360° = 746,12° φ 6 = 153,88° + 2·360° = 873,88° …… …… φ ‒1 = 26,12° – 1·360° = ‒333,88° φ ‒2 = 153,88° – 1·360° = ‒206,12° φ ‒3 = 26,12° – 2·360° = ‒693,88° φ ‒4 = 153,88° – 2·360° = ‒566,12° …… …… L = { φ‡ ( φ = 26,12° + k·360°) = ( φ = 153,88° + k·360°), k * Z } Beispiel C Ermittøe für G = R die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von tan φ = cot φ ! Vergøeiche mit Buch 5. Kø. S. 207 Beispieø O! Lösung: Wegen cot φ = 1/tan φ erhäøt man tan φ = 1 ____ tan φ , wobei tan φ ≠ 0 w D = R \{k· π /2, k * Z } tan 2 φ = 1 w (tan φ = 1) = (tan φ = ‒1) φ 1 = π /4 φ 2 = 3 π /4 φ 3 = 5 π /4 φ 4 = 7 π /4 …… …… L = { φ‡φ = k· π /4, k * Z u } Beispiel D Löse für G = [0; 2 π ] die Gøeichung sin (2 φ ) = 1/ 9 __ 2! Vergøeiche mit Buch 5. Kø. S. 207 Beispieø P! Lösung: sin (2 φ ) = 1/ 9 __ 2 = 9 __ 2/2 w (2 φ ) 1 = π /4 w φ 1 = π /8 (2 φ ) 2 = π – π /4 = 3 π /4 w φ 2 = 3 π /8 (2 φ ) 3 = π /4 + 2 π = 9 π /4 w φ 3 = 9 π /8 (2 φ ) 4 = 3 π /4 + 2 π = 11 π /4 w φ 4 = 11 π /8 (2 φ ) 5 = π /4 + 2·2 π = 17 π /4 w φ 5 + G w L = { π /8; 3 π /8; 9 π /8; 11 π /8} ≈ {0,3927; 1,1781; 3,5343; 4,3197} Beachte: Obwohø nur die Lösungen im Standardintervaøø gefragt waren, muss man über dieses hin- ausrechnen, um aøøe Lösungen im Standardintervaøø zu erhaøten! π 2 ‒ π 2 x y 1 ‒1 0 π 4 arcsin x sin x Fig. 7.4 π 2 π 2 π π ‒ ‒ y x 1 ‒1 0 π 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv