Reichel Mathematik 6, Schulbuch

232 Reelle Funktionen In diesem Kapitel wirst du lernen noch besser mit Funktionen umzugehen und deren verschiedene Eigenschaften zu erken- • nen und zu beschreiben, die Frage beantworten, ob deren Graphen durchgehend in einem Zug gezeichnet werden können, • Winkelfunktionen als periodische Funktionen zur Beschreibung von Drehbewegungen und • Schwingungsvorgängen benützen, Gleichungen exakt – wo das geht – wie auch näherungsweise (graphisch und numerisch) lösen. • Wiederholung und Vorschau In Kap. 2 haben wir Potenzfunktionen und deren Umkehrfunktionen (die Wurzelfunktionen), in Kap. 6 die Exponentialfunktionen und deren Umkehrfunktionen (die Logarithmusfunktionen) untersucht. Da- mit haben wir zwei der drei grundlegenden Klassen „reeller“ Funktionen abgehandelt. Als Dritte im Bunde fehlen noch die Winkelfunktionen und deren Umkehrfunktionen (die Kreisfunktio- nen). Diesen wollen wir uns in Kap. 7.1 widmen. Dabei geht es (wie schon in Kap. 2 und 6) nun insbeson- dere darum, unser Wissen über einzelne wichtige Vertreter dieser Funktionenklasse zusammenzufas- sen und zu vertiefen, also die Funktionen und ihre Eigenschaften (wie Monotonie, Maxima und Minima, usw.) systematisch zu untersuchen und zu klassifizieren. Dazu gehört insbesondere auch das (exakte wie näherungsweise) Lösen von mit diesen Funktionenklassen verbundenen Gleichungen, also von al- gebraischen Gleichungen und Wurzelgleichungen, von Exponentialgleichungen und logarithmischen Gleichungen sowie insbesondere von goniometrischen Gleichungen. Im Zuge dessen werden wir zwei (für uns) neue Eigenschaften entdecken und definieren, nämlich die Periodizität und die Stetigkeit . Während Periodizität auch bei Folgen (diskreten Funktionen – vgl. Buch 5. Kl. S. 109 und 117) auftreten kann, ist die Stetigkeit untrennbar mit kontinuierlichen Funktionen ver- bunden und immer dann vonnöten, wenn wir Modelle kontinuierlicher Prozesse mittels Funktionen bilden wollen. Deshalb beschränken wir uns in diesem Kapitel ganz bewusst auf geeignete reelle Funk- tionen , die das Kontinuum R (oder Teile davon) wieder auf R (oder Teile davon) abbilden (vgl. Buch 5. KL. S. 65). Definition Eine Funktion f, deren Argumente- und Wertevorrat (echte) Teiømengen von R sind, heißt reeøøe Funktion . Zum Modellieren eines in „Wirklichkeit“ diskret ablaufenden geomet- rischen Wachstums (einer Bakterienkultur, einer Bevölkerung usw.) durch eine kontinuierliche Funktion benötigt man zB (Kombinatio- nen von) Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen. Als streng monoton wachsende (fallende) positivwertige Funktionen sind sie (gut) geeignet, „ungebremstes“ Wachsen und „gebremstes“ Zerfallen zu modellieren. Daneben gibt es aber auch Prozesse, bei denen eine Größe (ziemlich regelmäßig) immer wieder wächst und (zer-)fällt, so genannte „Schwingungsvorgänge“ oder „Pendel- und Wellenbewe- gungen“ . Zu deren Modellierung eignen sich besonders Funktio- nen, die sich aus der Sinusfunktion (bzw. der Cosinusfunktion) durch Variation der Parameter oder durch (Linear-)Kombinationen herlei- ten lassen . Wiederhoøe anhand von Buch 5. Kø. Kap. 7.4.1, 7.4.5 und 7.5.2 die Definitionen und Eigenschaften der Winkeøfunktionen, insbesondere die Quadrantenregeø und die Reduktionsformeøn! 7.0 Fig. 7.1 K 4.5 K 6.0 F 7.1 K 7.1 K 7.6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv