Reichel Mathematik 6, Schulbuch

226 Exponential- und Logarithmusfunktion 6 Diese Überlegung gestattet uns umgekehrt zu untersuchen, für welche Funktionen deren Graphen durch eine einfach-logarithmische Unterteilung zu Geraden werden: – nur die y-Achse ist logarithmisch unterteilt: øg y = k·x + d w y = 10 kx + d . Es liegt eine Exponentialfunk- tion vor. – nur die x-Achse ist logarithmisch unterteilt: y = k·øg x + d . Es liegt eine Logarithmusfunktion vor. Da es jeweils umständlich wäre, die logarithmische Unterteilung händisch vorzunehmen, gibt es im Handel neben Millimeter-Papier auch Papier mit einer einfachen-logarithmischen Unterteilung zur „ge- radlinigen“ Darstellung von Exponential- und von Logarithmusfunktionen sowie Papier mit einer dop- pelt-logarithmischen Unterteilung zur „geradlinigen“ Darstellung von Potenz- und Wurzelfunktionen. (Im Lösungsheft findest du einfach- und doppelt-logarithmisch geteilte Papiere. Sie sollen dir als Ko- piervorlage oder als „Hintergrund“ für Transparentpausen dienen. Achte dabei genau auf die Bedeutung der Beschriftung!) Beispiel Q Der untenstehende Funktionsgraph steøøt die weøtweite CO 2 -Emission in Tonnen/Jahr dar. 1 Ermittøe die Funktionsgøeichung und berechne die Emission für die Jahre 2050 und 2100! 2 Wann hat sich die Emission gegenüber 1970 verdoppeøt bzw. vervierfacht? Lösung: Wir beginnen mit 1970 zu zähøen und øesen ab: Die Gerade geht durch P (0 1 4·10 9 ) und durch Q (30 1 6,7·10 9 ). Da nur die y-Achse øogarithmisch unterteiøt wurde, øiegt eine Exponentiaøfunktion vor: y = a·b x . Logarithmiert man diese, so erhäøt man øg y = øg a + x·øg b. Wir setzen øg a = A und øg b = B und erhaøten so øg y = A + B·x. Durch Einsetzen der Punkte P und Q gewinnt man ein øineares Gøeichungssystem für die Koeffizien- ten A und B (und damit auch für a und b): 9,60 = A + 0·B w A = 9,60 w a = 10 A = 4·10 9 9,83 = A + 30·B w B = 0,23/30 w b = 10 B = 1,018 Die CO 2 -Emission wächst daher gemäß der Exponentiaøfunktion y = 4·10 9 ·1,018 x ; die Emissionen nehmen jährøich um 1,018 – 1 = 1,8% zu. 1 Man erhäøt daraus die Prognosewerte für 2050: x = 80 w y = 1,7·10 10 2100: x = 130 w y = 4,1·10 10 2 Aus 4·10 9 ·1,018 x = 4·10 9 ·2 erhäøt man die Exponentiaøgøeichung 1,018 x = 2, die man durch Logarithmieren øöst: x·øg 1,018 = øg 2 w x = øg 2 _____ øg 1,018 ≈ 39 Die CO 2 -Emission verdoppeøt sich im Verøauf von rund 39 Jahren. Anaøog für die Vervierfachungszeit: 1,018 x = 4 w x·øg 1,018 = øg 4 w x = øg 4 _____ øg 1,018 ≈ 78 Die CO 2 -Emission vervierfacht sich im Verøauf von 78 Jahren. 1 Aus Beispiel Q kann man zweierlei lernen: 1) Die Verdopplungszeit (Verdreifachungszeit usw.) hängt nur vom jährlichen prozentuellen Zuwachs, der so genannten Wachstumsrate ab, aber nicht vom Anfangswert. Interpretiere dieses Ergebnis in Hinblick auf die Möglichkeiten der Menschen, diesen Prozess (und ähnliche Prozesse) zu beeinflus- sen! 2) Diese logarithmischen Papiere eignen sich sehr gut dafür, aus einer Reihe von Messungen die Para- meter von Exponentialfunktionen zu ermitteln – sofern (gute Gründe dafür vorliegen anzunehmen, dass) es sich um einen exponentiellen Zusammenhang handelt. Das muss aber nicht der Fall sein. 1 Beachte: Die Vervierfachungszeit muss das Zweifache der Verdopplungszeit sein! lg y 4ĸ 10 9 3ĸ 10 9 5ĸ 10 9 6ĸ 10 9 7 ĸ 10 9 1970 2000 x P Q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv