Reichel Mathematik 6, Schulbuch

225 6.6 Rückblick und Ausblick 6 Aber auch die Rechenstäbe haben wie die Logarithmentafeln seit dem Aufkommen der elektronischen Rechner als numerisches Rechenhilfsmittel praktisch keine Bedeutung mehr. Bei graphischen Darstel- lungen hingegen verwendet man die logarithmischen Skalen nach wie vor, und zwar – um große Zahlenbereiche übersichtlich darzustellen und – um Graphen bestimmer Funktionen einfacher zeichnen zu können. Ein Beispiel einer übersichtlichen Darstellung eines großen Zah- lenbereichs, nämlich der Wellenlängen des Spektrums der elekt- romagnetischen Wellen, zeigt Fig. 6.8. Würde man eine äquidis- tante Skala verwenden, dh., entsprächen gleichen Wellenlängen- differenzen gleiche Streckendifferenzen wie auf der Nebenfigur des sichtbaren Spektrums, so würde die Zeichnung nur die Wech- selströme zeigen. Schon die beim Rundfunk verwendeten Wellen würden maßstabsgetreu nur den unteren Abschlussstrich bean- spruchen. Um auch die anderen Wellenlängenbereiche darstellen zu können, wurde die Skala logarithmisch unterteilt. Allerdings wurde sie – um leichter abgelesen werden zu können – nicht mit den aufgetragenen Logarithmen, sondern mit deren Numeri be- schriftet, wie wir es bereits beim Rechenstab gesehen haben. (Es steht also zB 10 ‒10 statt øg 10 ‒10 = ‒10 .) Um bestimmte Funktionsgraphen „einfacher“ zeichnen zu können, wird die Idee mit der logarithmischen Skala wie folgt ausgebaut: Bislang haben wir beim Zeichnen eines Funktionsgraphen sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse stets äquidistante Skalen verwendet (auch wenn der Maßstab nicht immer übereinstimmte). Nehmen wir nun stattdessen auf einer oder auf beiden Achsen loga- rithmische Skalen, so ändert sich natürlich die Gestalt des Graphen: Beispiel P STEVENS steøøte fest, dass die subjektive Empfindung E einer Person auf einen Reiz R näherungs- weise mit foøgendem Gesetz beschrieben werden kann: E = k·R n . Dabei sind k und n Konstante, wo- bei k von der Maßeinheit abhängt, n jedoch eine Konstante ist, die für die jeweiøige Sinnesmodaøität (wie Lautstärke: n = 0,67; Heøøigkeit: n = 0,33; Schwere: n = 1,45) spezifisch ist. Setze k = 1 und steøøe E in Abhängigkeit von n für die drei gegebenen Sinnesmodaøitäten graphisch dar, und zwar: 1 mit äquidistanten (gøeichskaøierten) Achsen, 2 x-Achse øogarithmisch und y-Achse äquidistant, 3 x-Ach- se äquidistant und y-Achse øogarithmisch, 4 x- und y-Achse øogarithmisch unterteiøt (R š x, E š y). Lösung: 1 0 1 1 x y 2 3 4 2 3 4 2 0 1 1 lg x y 2 3 4 2 3 4 3 0 1 1 x lg y 2 3 4 2 3 4 4 1 1 lg y 2 3 4 2 3 4 lg x Du siehst: bei 4 erscheinen die Graphen als Geraden. Warum ist das so? Durch die logarithmische Unterteilung wird eine Transformation durchgeführt, und zwar wird øg x statt x aufgetragen und øg y statt y . Schreiben wir X statt øg x und Y statt øg y , dann wird aus einer Funktion y = a·x b , die logarithmiert die Gestalt øg y = øg a + b·øg x hat, die lineare Funktion Y = øg a + b·X . Dh., durch eine doppelt-logarithmische Unterteilung werden die Graphen von Potenzfunktionen zu Geraden. Fig. 6.8 400 500 600 700 Wellenlänge in Metern Gamma- strahlen Röntgen- strahlen Wellenlänge in Nanometer Blau Violett Orange Gelb Grün Rot sichtbares Spektrum Ultraviolett- strahlen Infrarot- strahlen Radar Rundfunk Wechsel- ströme 10 –14 10 –12 10 –10 10 –8 10 –6 10 –4 10 –2 1 10 2 10 4 10 6 10 8 150501-225 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv