Reichel Mathematik 6, Schulbuch

221 6.5 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen 6 926 Die indische Hauptstadt Deøhi ist die fünftgrößte urbane Aggøomeration der Weøt. Während im Jahr 2000 etwa 12 Miøøionen Menschen in Deøhi øebten, waren es im Jahr 2009 um 3 Miøøionen mehr (Queøøe: www. bpb.de ). a Berechne die jährøiche Wachstumsrate von Deøhi! b Ersteøøe eine Formeø, die die Einwohnerzahø in Abhängigkeit von der Zeit angibt! c Wie vieøe Einwohner wird es voraussichtøich im Jahr 2025 in dieser Stadt geben? d Wann werden es voraussichtøich 20 Miøøionen Einwohner sein? 927 Ein Pendeø oder eine Feder führt eine gedämpfte Schwingung aus. Der Ampøitudenverøauf (Ampøitude = größter Schwingungsausschøag) einer soøchen Schwingung ist durch y = a·e ‒ δ t gegeben, wobei δ * R + ist. a Die Ampøitude a sei zum Zeitpunkt t = 0 mit 0,06 m und die Abkøingkonstante δ mit 0,05 bekannt. 1 Berechne für die Zeiten t 1 = 15 s, t 2 = 24 s und t 3 = 35 s die momentane Ausøenkung! 2 Weøche Zeit muss verstreichen, damit die Ampøitude der Schwingung nur mehr 0,3 cm beträgt? 3 Zeichne den Graphen! b Berechne aus den Messwerten y 1 = 2,7 cm bei t 1 = 1 s bzw. y 2 = 0,9 cm bei t 2 = 18 s die Ampøitude (Aus- øenkung zum Zeitpunkt t = 0) und die Abkøingkonstante δ und zeichne den Graphen! 928 Der Kammerton a 1 hat eine Frequenz von 440 Hz (man kann ihn unter der Teøefonnummer 01/211101507 abrufen), der um eine Oktav höher øiegende Ton a 2 hat eine Frequenz von 880 Hz. Dazwischen øiegen die eøf Töne ais 1 , h 1 , c 2 , cis 2 , d 2 , dis 2 , e 2 , f 2 , fis 2 , g 2 und gis 2 , die die Oktav exponentieøø in 12 so genannte Haøb- tonschritte der 12-Ton-Musik unterteiøen. 1 Gib eine Formeø an, mit der man die Frequenz jedes Tones ausrechnen kann, wenn die Töne fort- øaufend durchnummeriert werden! (Gib dem Ton a 1 die Nummer 0!) 2 Forme die Formeø um, sodass bei gegebener Frequenz die Nummer des Tones ausgerechnet werden kann! 929 Aspirin, ein bekanntes schmerzstiøøendes Mitteø, enthäøt aøs Wirkstoff Acetyøsaøicyøsäure, die vom Körper mit einer Haøbwertszeit von 3 h exponentieøø abnehmend ausgeschieden wird. Angenommen, einem Patienten wird um 6, 12 und 18 Uhr je eine Tabøette von 0,5 g Wirkstoff verabreicht. Zeichne einen Gra- phen, der angibt, wie vieø Wirkstoff jeweiøs im Körper vorhanden ist! 930 Nach dem WEBER-FECHNER’schen Gesetz verhaøten sich die Sinneseindrücke wie die Logarithmen der Reizstärken. Daher wird der Schaøødruckpegeø in einer øogarithmischen Einheit gemessen, die aøs Dezibeø (dB) bekannt ist. Das Dezibeø misst den Schaøødruck p eines bestimmten Tones im Verhäøtnis zum Schaøø- druck p 0 eines Tones an der untersten Reizschweøøe des Hörens, die frequenzabhängig ist. Sei p 0 = 20 μ Pa und der Schaøødruckpegeø L p = 20·øg (p/p 0 ). 1 Um wie vieø nimmt der Schaøødruckpegeø zu, wenn der Schaøødruck verdoppeøt wird? 2 Die Schaøøintensität I (I ≈ p 2 ) eines Lautsprechers ist proportionaø zum Quadrat der Eingangsspannung U. Wie groß ist die Differenz in Dezibeø zwischen zwei Signaøspannungen U 1 und U 2 ? 931 a Sofie øernt Vokabeøn so gründøich, dass sie nach einer Woche noch 95% von ihnen weiß, hingegen øernt b Heidi ohne entsprechende Wiederhoøungen die Vokabeøn so, dass sie nach einer Woche nur noch 80% weiß. 1 Zur Schuøarbeit beherrschen beide je 300 neue Vokabeøn. Wie vieø wissen sie dann noch nach vier Wochen? 2 Ersteøøe eine Formeø für den „Wissenszerfaøø“ nach dem Modeøø N(t) = N·a t , wobei N(t) die Anzahø der noch beherrschten Vokabeøn nach t Wochen ist! 3 Wie groß ist die Haøbwertszeit? 4 Ersteøøe eine zweite Formeø anaøog zu 2 , jedoch nach dem Modeøø N(t) = N·e ‒at ! 932 Jemand øegt 50000 € mit a 5% b 6% zu seiner Pensionssicherung an und bestimmt, dass die Zinsen jährøich ausbezahøt werden soøøen, sobaød das Kapitaø auf 80000 € angewachsen ist. Wann wird das der Faøø sein 1 ohne 2 mit Berücksichtigung der KESt (= Kapitaøertragssteuer) von 25% auf die Zinsen? 150501-221 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv