Reichel Mathematik 6, Schulbuch

209 6.3 Logarithmus und Logarithmusfunktion 6 Im Prinzip kann man durch Intervallschachtelung beliebig viele Stellen von a øog b ermitteln. Für die bei- den gebräuchlichsten Logarithmen, es sind dies – der dekadische Logarithmus (logarithmus generalis) mit der Basis 10 : øg bzw. 10 øog und – der natürliche Logarithmus (logarithmus naturalis) mit der Basis e : øn bzw. e øog , ist man nicht auf die Intervallschachtelung angewiesen, weil der Taschenrechner die Berechnung die- ser Logarithmen mit Hilfe eines anderen Näherungsverfahrens „auf Tastendruck“ erlaubt. 1 Beispiel F Berechne mit Hiøfe des Taschenrechners! a øg 2 b øg 0,3 c øn 2 d øn 0,3 Lösung: a Tastenfoøge 2 øog ergibt 0,301029996 b Tastenfoøge .3 øog ergibt ‒0,522878745 c Tastenfoøge 2 øn ergibt 0,693147181 d Tastenfoøge .3 øn ergibt ‒1,203972804 Der Taschenrechner errechnet die Logarithmen mit Näherungsverfahren. Mit ein Grund hierfür liegt darin, dass Logarithmen im Allgemeinen irrationale Zahlen sind: Beispiel G Zeige, dass 10 øog 2 irrationaø ist! Lösung: Wegen 10 0 = 1 und 10 1 = 10 und der strengen Monotonie der Exponentiaøfunktion giøt: 0 < 10 øog 2 < 1. Angenommen, 10 øog 2 wäre ein echter Bruch p/q (p, q * N *, q ≠ 1, p < q), dann würde geøten: 10 p/q = 2 w 10 p = 2 q w (2·5) p = 2 q w 2 p ·5 p = 2 q w 5 p = 2 q – p Da 5 eine ungerade Zahø ist, ist auch die Potenz 5 p ungerade. Da 2 eine gerade Zahø ist, ist auch die Potenz 2 r mit r = q – p gerade. Da keine Zahø gøeichzeitig gerade und ungerade sein kann, ergibt sich ein Widerspruch. Die Annahme, dass 10 øog 2 aøs Bruch dargesteøøt werden kann, ist daher faøsch. 2. Die Logarithmusfunktion kennen und graphisch darstellen Definition Unter der Logarithmusfunktion zur Basis a versteht man die Funktion a øog: R + ¥ R , y = a øog x a * R + \{1} Da Logarithmieren und Exponenzieren Umkehroperationen sind, bezeichnen wir die Logarithmusfunk- tion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wie wir bereits aus Kap. 2.2.6 und 2.4.3 wissen, braucht man dazu nur den Graphen der Exponentialfunktion an der 1. Mediane zu spiegeln. Nebenbei kann man die Eigenschaften der Logarithmusfunktion aus denen der Exponentialfunktion herleiten : 1) Die Funktion ist nur für positive reelle Zahlen definiert, dh. der Graph verläuft rechts von der y-Achse. 2) Die Funktion ist nach unten und oben unbeschränkt. 3) Die Funktion enthält stets den Punkt P(1 1 0) . 4) Für a > 1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für 0 < a < 1 ist die Funktion streng monoton fallend. 5) Die Graphen der Logarithmusfunktion zur Basis a und zur Basis 1/a liegen symmetrisch bezüglich der x-Achse. 6) Für a > 1 ist die negative y-Achse (die einzige) Asymptote, für 0 < a < 1 ist die positive y-Achse (die einzige) Asymptote. 1 Im Gegensatz zum Taschenrechner steht am Computer häufig nur der natürliche Logarithmus zur Verfügung. Er wird meist mit „log“ aufgerufen – obwohl dies am Taschenrechner üblicherweise den dekadischen Logarithmus bezeichnet. S 84 S 96 F 6.4 Fig. 6.4 0 1 1 x y 2 exp x 0,5 exp x 0,5 log x 2 log x m 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv