Reichel Mathematik 6, Schulbuch

208 Exponential- und Logarithmusfunktion 6 Logarithmus und Logarithmusfunktion 1. Den Begriff des Logarithmus kennen Eine immer wiederkehrende Aufgabe der Mathematik ist es, die Umkehrung von Rechenoperationen zu suchen. Ein Beispiel möge das verdeutlichen: 2 + 3 = 5 . Bei dieser Rechenoperation sind 2 und 3 bekannt und das Ergebnis gesucht. Mathematisch lässt sich die Aufgabe als die Bestimmungsgleichung 2 + 3 = x anschreiben. Gibt man hingegen das Ergebnis und einen der Summanden vor, zB 2 + x = 5 , so muss man, um x explizit ausdrücken zu können, eine neue Rechenoperation benützen, nämlich die Subtraktion. Genauso wurde die Division als Umkehrung der Multiplikation eingeführt. Aus 2·3 = 6 wurde 2·x = 6 und daher x = 62 . Und genauso sind wir in Kap. 2.2 vorgegangen, als wir das Wurzelziehen als Umkeh- rung des Potenzierens eingeführt haben. Betrachten wir die damaligen Überlegungen nochmals, zB anhand von 2 3 = 8 . Dann gibt es offenbar drei Möglichkeiten, daraus eine Bestimmungsgleichung zu machen: – Die Gleichung 2 3 = x : Die Lösung findet man durch Potenzieren . – Die Gleichung x 3 = 8 : Die Lösung findet man durch Wurzelziehen : x = 3 9 __ 8 – Die Gleichung 2 x = 8 : Aus dem Graphen von y = 2 x (Fig. 6.4 auf S. 209) kann man erkennen, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Um diese Lösung – allgemein: die Lösung der Gleichung a x = b – explizit darstellen zu können, müssen wir eine weitere Umkehroperation des Potenzierens und eine zugehörige Schreibweise und Sprechweise „erfinden“: Definition Die Lösung der Gøeichung a x = b (a * R + \{1}, b * R + ) in R nennt man den Logarithmus von b zur Basis a; b heißt Numerus. a x = b É x = a øog b In Worten: Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhaøten. Man schreibt 1 : a a øogb = b Basis Logarithmus = Numerus Bisweilen lassen sich Logarithmen unmittelbar aus ihrer Definition errechnen: Beispiel D Berechne! a 7 øog 49 b 2 øog (1/8) c 5 øog 9 __ 5 d 0,5 øog 2 Lösung: a 7 øog49 = 2, da 7 2 = 49 b 2 øog (1/8) = ‒3, da 2 ‒3 = 1/2 3 = 1/8 c 5 øog 9 __ 5 = 1/2, da 5 1/2 = 9 __ 5 d 0,5 øog 2 = ‒1, da 0,5 ‒1 = (1/2) ‒1 = 2 Lässt sich der Logarithmus nicht unmittelbar aus der Definiton errechnen, so kann man den Logarith- mus folgendermaßen schätzen : Beispiel E Schätze den Wert von 3 øog 54! Lösung: Wir schranken die Zahø 54 zwischen zwei Potenzen von 3 mit ganzzahøigen Exponenten ein: 27 < 54 < 81 É 3 3 < 54 < 3 4 w 3 < 3 øog 54 < 4, dh.: 3 øog 54 = 3,… Überprüfe durch Berechnen von 3 3,5 , dass 3 øog 54 nicht „genau in der Mitte“ von 3 und 4 øiegt, obwohø 54 „genau in der Mitte“ von 27 und 81 øiegt! Ermittøe durch gezieøtes Probieren im Sinne des Einschrankens (vgø. Buch 5. Kø. S. 66) zwei weitere Steøøen von 3 øog 54! 1 a log b ist die allgemein übliche Schreibweise. Die ÖNORM sieht hingegen log a b vor. 6.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv