Reichel Mathematik 6, Schulbuch

207 6.2 EULER’sche Zahl e und natürliche Exponentialfunktion 6 858 Frau Süß erhäøt eine Tasse mit besonders heißem Tee (90 °C) serviert. Da sie ihn gezuckert øiebt, möchte sie zwei Stück Zucker hineinwerfen. Dadurch wird der Tee, vor aøøem durch den Lösungsvorgang um etwa 15 °C abgekühøt. Frau Süß øiebt eine Trinktemperatur von etwa 35 °C. Ist es nun køüger, den Zucker sofort hineinzuwerfen oder abzuwarten, bis der Tee auf eine Temperatur von 50 °C abgekühøt ist und dann erst zu zuckern? Verwende die Formeø und die Umgebungstemperatur von Aufg. 857 und zeichne die Graphen für beide Vorgänge! 859 Beweise mitteøs des binomischen Lehrsatzes (vgø. S. 92) den foøgenden Satz Ungøeichung von BERNOULLI: Für x > ‒1 und n * N giøt: (1 + x) n º 1 + nx 860 Die Abhängigkeit des Durchmessers d (in Meter, gemessen in 1 m Höhe) einer Fichte vom Aøter t (in Jahren) kann näherungsweise durch foøgende Funktion beschrieben werden: d(t) = 1 _______ 1 + e ‒0,05(t – 60) Berechne den Durchmesser nach a 10, b 20, c 50, d 100 Jahren! 861 Zeige, dass die Foøge k b n l = k “ 1 + 1 _ n § n + 1 l streng monoton faøøend ist! 862 Beweise: Die Zahøenfoøge k c n l mit c n = ; k = 0 n 1 __ k! ist 1 streng monoton wachsend, 2 nach oben beschränkt, 3 konvergent mit Grenzwert e. 863 Schreibe ein Computer-Programm zur Berechnung von e a unter Verwendung der Definition von e , b unter Verwendung von Aufg. 862 3 ! 864 Mit weøchem Zusammenhang kann man aus der Existenz der natür- øichen Exponentiaøfunktion y = e x auf die Existenz der (aøøgemeinen) Exponentiaøfunktion y = a x , a * R + , schøießen? 865 Ein Kapitaø K 0 ist für einen Zeitraum T zu einem Zinssatz von p% an- geøegt. Berechne die Zinsen nach der stetigen Verzinsung und den Endstand des Kapitaøs! Begründe, warum – und weøche – Zusatzinfor- mationen für eine genaue bankmäßige Berechnung notwendig wären! K 0 T p a 1000 € 2,5 Jahre 3% b 1000 € 2,75 Jahre 5% c 2000 € 5 Monate 3,25% d 2000 € 8 Monate 3,75% e 5000 € 5 3 _ 4 Jahre 4% f 5000 € 4 1 _ 4 Jahre 6% g 7000 € 10 Jahre 3 Monate 6,25% h 7000 € 10 Jahre 8 Monate 6,50% Zinsen täglich fällig Bank Austria 0,375% Bawag 1,000% Easy Bank 1,550% Erste Bank 0,125% Kapital 12 Monate gebunden Bank Austria 0,800% Bawag 1,500% Easy Bank 1,000% Erste Bank 1,250% Kapital 24 Monate gebunden Bank Austria 2,125% Bawag 2,000% Easy Bank 1,300% Erste Bank 1,750% (Stand 8.12.2010) S 204 150501-207 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv