Reichel Mathematik 6, Schulbuch

206 Exponential- und Logarithmusfunktion 6 3. Die stetige Verzinsung anwenden Die Zinseszinsformel K n = K 0 · “ 1 + p ___ 100 § n gilt gemäß ihrer Herleitung nur für ganze Jahre und Bruchteile von Jahren ( n * Q + ) (siehe theoretische Verzinsung ). K 0 ist nun das Anfangskapital. Wendet man diese Formel auch für Exponenten * R + an, was natürlich nur von theoretischem Interesse ist, so spricht man von einer stetigen Verzinsung : K x = K 0 ·q x , x * R + , q = 1 + p ___ 100 . Letztere ist rechnerisch bequemer, sodass man die (ohnedies nur kleine) Abweichung von der bankmä- ßigen Verzinsung, bei der das Kapital während des Jahres (Banken rechnen mit 12 mal 30 = 360 Tagen) linear verzinst wird, oft in Kauf nimmt. Beispiel C Ein Kapitaø von 10000 € wird in der Mitte des Jahres auf 3,5 Jahre angeøegt. Berechne das Endkapitaø K n bei 3% Verzinsung 1 mitteøs stetiger Verzinsung und 2 vergøeiche mit der bankmäßigen! Lösung: 1 K n = 10000·(1 + 0,03) 3,5 = 11089,97 € 2 Die Zinsen nach 0,5 Jahren betragen 150 €, das Kapitaø daher 10150 € und nach weiteren drei Jah- ren K 3 = 10150·(1 + 0,03) 3 = 11091,18 € Der Unterschied der stetigen zur bankmäßigen Verzinsung beträgt nur 1,21 €. 850 Gib die Wertetabeøøe von f: y = “ 1 + 1 _ x § x für x = 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 an! 851 Berechne mit Hiøfe des Taschenrechners! a e 2,3 b e 1,7 c e ‒1,6 d e ‒1,2 e e 2 π f e 3 π g e ‒2 h e ‒3 852 Zeichne die Graphen der foøgenden Exponentiaøfunktionen in den angeführten Intervaøøen in eine Figur! Was fäøøt dir auf? a 1 y = e x , 2 y = e ‒x für D = [‒3; 3] b 1 y = e 0,5x , 2 y = e ‒0,5x für D = [‒5;5] 853 Zeichne die Graphen der foøgenden Exponentiaøfunktionen im Intervaøø D in eine Zeichnung: 1 y = 2 x in D = [‒3; 3], 2 y = e x in D = [‒3; 1], 3 y = 10 x in D = [‒3; 0,7]! Was fäøøt dir auf? 854 Die Funktion y = 1 ___ 9 __ 2 π ·e ‒x 2 /2 hat große Bedeutung in der Statistik. 1 Zeichne ihren Graphen im Intervaøø D = [‒3;3]! Beweise 2 die dabei auftretende Symmetrieeigenschaft und 3 die abschnittsweise Monotonie! 855 Weøche zwei der dargesteøøten Funktionen sind keine Exponen- tiaøfunktionen ? Begründe! Gib von den Exponentiaøfunktio- nen die Funktionsgøeichung an! 856 Beim Einschaøten von Gøeichstrom steigt die Stromstärke I nicht sofort, aber sehr rasch nach dem Gesetz I = I 0 ·(1 – e ‒at ) auf den voøøen Wert I 0 . Berechne I unter der Annahme I 0 = 0,5 A, a = 500 s ‒1 für den Zeitpunkt T Sekunden nach dem Einschaøten! a T = 10 ‒4 s b T = 5·10 ‒4 s c T = 10 ‒3 s d T = 10 ‒2 s 857 In einem Gefäß befindet sich heißes Wasser mit der Tempe- ratur δ 2 = 80 °C. Die Umgebung hat die Temperatur δ 1 = 20 °C. Die Abkühøung auf die Temperatur δ erfoøgt nach dem Gesetz δ = δ 1 + ( δ 2 – δ 1 )·e ‒0,05·t ( δ in Ceøsiusgraden, t in Minuten). Weøche Temperatur hat das Wasser a nach 10 min, b nach 20 min, c nach 40 min, d nach 1 h? S 146 Fig. 6.3 x y 1 0 1 ‒1 ‒2 ‒3 2 3 4 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 2 3 4 5 F 6.3 150501-206 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv