Reichel Mathematik 6, Schulbuch

186 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 803 Vereinfache mitteøs der Symmetriebeziehung für Binomiaøkoeffizienten! a “ n n – 2 § b “ n + 2 n § c “ n + 5 n + 3 § d “ n + 1 n – 1 § 804 Beweise die Symmetriebeziehung der Binomiaøkoeffizienten! 805 1 Erøäutere die foøgende Überøegung zur Berechnung des Binomiaøkoeffizienten “ 20 13 § und 2 veraøøgemeinere sie zu einem aøøgemeinen Beweis! Überøegung: Zum Ereignis X = 13 gehören aøøe 0-1-Foøgen der Länge 20, die genau 13-maø „1“ (und damit genau 7-maø „0“) enthaøten. Wie vieøe soøche Foøgen gibt es? Zur Vereinfachung der Überøegung denken wir uns die 13 „1“-Kugeøn mit 08 bis 20, die 7 „0“-Kugeøn mit 01 bis 07 beschriftet. Nun ziehen wir 20-maø und notieren das Ergebnis. Es könnte zB 14 13 07 03 12 18 09 04 11 06 20 15 01 10 19 16 08 05 17 02 oder 13 14 07 03 12 18 09 04 11 06 20 15 01 10 19 16 08 05 17 02 oder 13 14 03 07 12 18 09 04 11 06 20 15 01 10 19 16 08 05 17 02 oder … øauten. Beim ersten Zug kann man offensichtøich unter 20 Kugeønummern wähøen, beim zweiten Zug unter 19, beim dritten Zug unter 18, …, beim øetzten hat man nur mehr eine Mögøichkeit, da ja nur mehr eine einzige Kugeø vorhanden ist. Insgesamt gibt es daher 20 · 19 · 18 · … · 2 · 1 = 20! verschiedene Zugfoø- gen. Nun interessiert uns aber eigentøich gar nicht, weøche Kugeønummer gezogen wird, sondern nur, ob die Kugeønummer zu einer „1“- Kugeø oder zu einer „0“-Kugeø gehört. Die drei obigen Foøgen von Kugeø- nummern beschreiben daher die gøeiche 0-1-Foøge, nämøich 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 (*) weiø ja nur jeweiøs zwei Kugeøn desseøben Typs (nämøich 13 und 14 bzw. 07 und 03) Pøatz getauscht haben. Offensichtøich darf man aøøe „1“-Kugeøn untereinander vertauschen – das führt zu 13! verschiedenen Foø- gen, und aøøe „0“-Kugeøn untereinander vertauschen – das führt zu 7! verschiedenen Foøgen ohne an der 0-1-Foøge etwas zu ändern. Da auf jede der 13! vieøen Foøgen 7! vieøe Foøgen kommen, gibt es insgesamt 13! · 7! Foøgen, die uns (mangeøs Kugeønummern) aøøe in Form der Foøge (*) entgegentreten. Wenn wir nun abschøießend die Gesamtzahø an 0-1-Foøgen mit genau 13 „1“-Kugeøn berechnen woøøen, so müssen wir die Zahø 20! durch 13! · 7! dividieren und erhaøten “ 20 13 § = “ 20 7 § = 77520. 806 1 Erøäutere die foøgende Überøegung und 2 veraøøgemeinere sie zu einem aøøgemeinen Beweis der Zähø- formeø für ungeordnete Stichproben von n aus N Eøementen mit Zurückøegen! Überøegung: Zieht man mit Zurückøegen aus einer Urne {1; 2; 3; 4; 5; 6} 4-maø, so muss man vor dem zwei- ten, vor dem dritten und vor dem vierten Ziehen, aøso 3-maø, den Urzustand durch Zurückøegen der gezo- genen Kugeø hersteøøen. Es erscheint daher pøausibeø, von Anfang an 3 Kugeøn mehr, nämøich {7; 8; 9}, in die Urne hineinzuøegen und aus dieser neuen Urne {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 4-maø ohne Zurückøegen zu zie- hen. Dieser „Modeøøwechseø“ ist genau dann richtig, wenn wir jedem Ereignis des 1. Modeøøs (Ziehen aus der 1. Urne) in bijektiver Weise ein Ereignis im 2. Modeøø (Ziehen aus der 2. Urne) zuordnen können. Und dies ist durch foøgende Zuordnungsvorschrift mögøich: Wir ordnen die vier gezogenen Kugeøn der Größe nach auf einem „Siegespodest“ . Addiert man zu jedem Kugeøwert die Nummer der zugehörigen Stufe, so entsteht eine eindeutig be- stimmte streng monoton wachsende Foøge von vier Zahøen, deren Werte mindestens 1 + 0 = 1 und höchs- tens 6 + 3 = 9 sind, und die man sich aøs (geordnetes) Ergebnis eines Ziehens von vier Kugeøn aus der 2. Urne vorsteøøen kann. Und das war die Behauptung. F 5.10 Fig. 5.10 Ursprüngliche Ziehung (geordnet) Ersatz - Ziehung (geordnet) 5 4 4 1 +3 +2 +1 +0 < 1 ; 4 ; 4 ; 5 > < 1 ; 5 ; 6 ; 8 > Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv