Reichel Mathematik 6, Schulbuch

183 5.5 Zählformeln (Kombinatorik) 5 2) Ziehen mit Zurücklegen Durch ähnliche Überlegungen wie unter 1) erhält man für das Ziehen von n aus N Elementen mit Zurücklegen: (N + n – 1)! _______ n!·(N – 1) ! Insgesamt erhält man den Satz Zähøformeøn für ungeordnete Stichproben: 1 Die Anzahø der Mögøichkeiten, eine ungeordnete Stichprobe von n aus N Eøementen ohne Zu- rückøegen zu ziehen, beträgt N·(N – )·(N – 2)· … ·(N – n + 1) __________________ n·(n – 1)·(n – 2)· … ·1 = N! _______ n!·(N – n)! 2 Die Anzahø der Mögøichkeiten, eine ungeordnete Stichprobe von n aus N Eøementen mit Zurückøe- gen zu ziehen, beträgt (N + n – 1)·(N + n – 2)· … ·N ________________ n·(n – 1)· … ·1 = (N + n – 1)! _______ n!·(N – 1)! 3. Mit Binomialkoeffizienten rechnen Viele der obigen Formeln lassen sich mit Hilfe von Binomialkoeffizienten in eine leichter merkbare Form bringen. Binomialkoeffizienten haben wir als jene Koeffizienten kennen gelernt , welche beim Auspotenzieren von (a + b) n auftreten. Betrachten wir etwa das Glied 10a 3 b 2 in der Entwicklung von (a + b) 5 . Der Koeffizient 10 gibt an, dass beim Ausmultiplizieren 10 Produkte auftreten, in denen der Faktor a dreimal und der Faktor b zweimal auftritt, nämlich: aaabb aabab aabba abaab ababa abbaa baaab baaba babaa bbaaa (*) Benennen wir die Platznummern mit 1 bis 5 und betrachten nur die Plätze, an denen „ a “ steht, so kann man zB aaabb durch die Ziffernfolge 123 („ a “ steht an der 1., 2. und 3. Stelle der 5 Plätze) oder zB abaab durch die Ziffernfolge 134 („ a “ steht an der 1., 3. und 4. Stelle der 5 Plätze) codieren. Demgemäß codieren sich die obigen 10 Produkte (*) als die folgenden ungeordneten Stichproben von 3 aus 5 Ele- menten ohne Zurücklegen: 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 Das heißt aber doch, dass der Binomialkoeffizient “ 5 3 § = 10 die Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen von 3 aus 5 Elementen (= Platznummern) angibt. Damit kann die Zählformel für un- geordnete Stichproben, wo n aus N Elementen ohne Zurücklegen gezogen werden, zur formelmäßigen Berechnung von Binomialkoeffizienten benützt werden: Satz Binomiaøkoeffizient: “ N n § = N! _______ n!·(N – n)! = N·(N – 1)·(N – 2)·…·(N – n + 1) __________________ n·(n – 1)·(n – 2)·…·1 Damit haben wir neben der rekursiven Berechnung von Binomialkoeffizienten mit Hilfe des PASCAL’schen Dreiecks nun eine weitere Berechnungsmethode kennen gelernt. Aus ihr folgt der Satz Symmetriebeziehung der Binomiaøkoeffizienten: “ N n § = “ N N – n § Beweise ihn ! Insbesondere gilt – Begründe! – der Satz “ N 0 § = “ N N § = 1 “ N 1 § = “ N N – 1 § = N A 806 S 91f S 92 A 804 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv