Reichel Mathematik 6, Schulbuch

182 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Zählformeln (Kombinatorik) Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Baumdiagrammen und der LAPLACE’schen Regel ist sehr einsichtig, für große Werte von N und n jedoch recht mühsam, weil es sehr viele Pfade geben kann, sodass leicht einer übersehen oder doppelt gezählt wird. Wir leiten daher ausgehend von den Beispie- len D bis F Formeln zum „Abzählen“ der günstigen und möglichen Fälle her. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich unter anderem mit solchen Fragen beschäftigt, heißt Kombinatorik . 1. Zählformeln für geordnete Stichproben (= Variationen) herleiten 1) Ziehen mit Zurücklegen Wie kam in Beispieø D die Anzahø 8 zustande? Beim 1. Zug hatte man 2 Möglichkeiten, beim 2. Zug für jeden der beiden 1. Züge wieder 2 Möglichkeiten, also 2 · 2 = 2 2 = 4 Möglichkeiten. Jede der 4 Möglichkeiten erlaubt beim 3. Zug wieder 2 Möglichkeiten, womit man (2 · 2) · 2 = 2 3 = 8 Möglichkei- ten hat. Allgemein hat man bei N Elementen und n Zügen N n Möglichkeiten. 2) Ziehen ohne Zurücklegen In Beispiel E gab es beim Ziehen ohne Zurücklegen 3 · 2 · 1 Möglichkeiten. Allgemein gibt es beim Zie- hen von n aus N Elementen ohne Zurücklegen N·(N – 1)·(N – 2) · … · (N – n + 1) Möglichkeiten, was man durch Erweitern mit (N – n)! zu 1 N!/(N – n)! umformen kann. Insgesamt erhält man den Satz Zähøformeøn für geordnete Stichproben: 1 Die Anzahø der Mögøichkeiten, eine geordnete Stichprobe von n aus N Eøementen ohne Zurück- øegen zu ziehen, beträgt N·(N – 1)·(N – 2)· … ·(N – n + 1) = N! _____ (N – n)! Für n = N gibt es insbesondere n! Mögøichkeiten, n Eøemente zu permutieren 2 . 2 Die Anzahø der Mögøichkeiten, eine geordnete Stichprobe von n aus N Eøementen mit Zurückøegen zu ziehen, beträgt N n 2. Zählformeln für ungeordnete Stichproben (= Kombinationen) herleiten 1) Ziehen ohne Zurücklegen Betrachten wir zunächst das Ziehen ohne Zurücklegen (wie etwa in Beispiel F). Gemäß der obigen Zählregel gibt es N · (N – 1) · (N – 2) · … · (N – n + 1) Möglichkeiten, eine geordnete Stichprobe von n aus N Elementen ohne Zurücklegen zu ziehen. Da n Elemente auf n ! Arten permutiert werden können, be- stimmten jeweils n ! geordnete Stichproben ein und dieselbe ungeordnete Stichprobe. Die Anzahl der ungeordneten Stichproben ist daher die durch n ! geteilte Anzahl der geordneten Stichproben: N · (N – 1) · (N – 2) · … · (N – n + 1) __________________ n · (n – 1) · (n – 2) · … · 1 Bemerkungen : 1) Beachte: Im Zähler und im Nenner stehen gleich viele – nämlich n – Faktoren. 2) Erweitert man den Bruch mit (N – n) !, so erhält man die Formel N! _______ n! · (N – n)! . Für „kleine“ N und n ist diese Formel vor allem dann nützlich, wenn die Fakultätsfunktion am Taschenrechner (meist Taste x! ) zur Verfügung steht. Für „große“ x ist sie nutzlos, weil x! auf praktisch allen Taschenrechnern nur bis x = 69 berechnet werden kann. 1 Erinnere dich : n! = n· (n – 1)·(n – 2)·…·3·2·1 , n * N * und 0! = 1 2 permutare (lat.) … vertauschen; Permutation … Vertauschung (der Reihenfolge) 5.5 S 175f. S 123 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv