Reichel Mathematik 6, Schulbuch

177 5.3 Ziehen geordneter Stichproben – 1. Pfadregel 5 Wir beschränken die Erklärung auf den (einzig interessierenden) grün gezeichneten Gewinnpfad. Aus dem Diagramm liest man ab: Die Wahrscheinlichkeit, beim 1. Zug ein O zu ziehen, ist gemäß der LAPLACE’schen Regel 2/3 . Die Wahrscheinlichkeit, beim 2. Zug ein M zu ziehen, ist 1/2 . (Nachdem ein O gezogen wurde, befinden sich in der Urne ja nur mehr ein O und ein M .) Die Zugfolge OM tritt daher (auf lange Sicht) in der Hälfte jener 2/3 aller Fälle ein, in denen ein O gezogen wurde; P (OM) = 2/3 · 1/2 = 1/3 . Was aber nun beim 3. Zug passiert, steht fest: Mit Wahrscheinlichkeit 1 (sicheres Ereignis!) wird ein O gezogen. (Nachdem O und M gezogen wurden, befindet sich ja nur mehr eine einzige Kugel – nämlich O – in der Urne.) Die Zugfolge OMO tritt daher in jedem Fall jener 1/3 aller Fälle ein, in denen OM gezogen wurde: P (OMO) = 1/3 · 1 = (2/3 · 1/2) · 1 = 1/3 . Man sieht: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (OMO) ergibt sich als Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs jenes Pfades, der zum Ergebnis OMO führt. Analog kann man Beispiel D mittels eines gewichteten Baumdiagramms lösen: Erkøäre! O M O M 1. Zug 2. Zug 3. Zug Gezogenes Wort O O O O O O M M M M M M OOO OOM OMO MOO MMO OMM MOM MMM 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Fig. 5.8 Wieder beschränken wir uns bei der Erklärung auf den (einzig interessierenden) grün gekennzeichne- ten Gewinnpfad zur Folge OMO : Die Wahrscheinlichkeit, beim 1. Zug ein O zu ziehen, ist 1/2 . Die Wahr- scheinlichkeit, beim 2. Zug ein M zu ziehen, ist 1/2 . Die Zugfolge OM tritt daher (auf lange Sicht) in der Hälfte jener Hälfte von Fällen ein, in denen ein O gezogen wurde; somit P (OM) = 1/2 · 1/2 = 1/4 . Die Wahrscheinlichkeit, beim 3. Zug ein O zu ziehen, bleibt wegen des Zurücklegens unverändert 1/2 . Die Zugfolge OMO tritt daher (auf lange Sicht) in der Hälfte jener Fälle ein, in denen OM gezogen wurde: P (OMO) = 1/4 · 1/2 = (1/2 · 1/2) · 1/2 = (1/2) 3 . P (OMO) ergibt sich daher wie oben als Produkt der Wahr- scheinlichkeiten längs des Pfades im Baumdiagramm, der zum Ergebnis OMO führt. Wir verallgemeinern zur Regel 1. Pfadregeø: Die Wahrscheinøichkeit einer geordneten Stichprobe (Zufaøøsfoøge) ist das Produkt 1 aøøer Wahrscheinøichkeiten øängs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. 753 Im Zuge einer Werbeaktion für ein Mundwasser wird foøgendes Gewinnspieø veranstaøtet: In einer Urne øiegen vier – bis auf die Beschriftung gøeiche – Kugeøn: O, D, O, L. Man hat – natürøich „bøind“ – eine Kugeø nach der anderen a ohne, b mit Zurückøegen der gezogenen Kugeø zu ziehen. Zieht man auf diese Weise das Wort ODOL, so erhäøt man eine Føasche Mundwasser gratis. Wie groß ist die Gewinnchance bei einem Spieø? 754 Im Zuge einer Werbeaktion für das neue Fastfoodprodukt MAMPF wird foøgendes Gewinnspieø veranstaø- tet: In einer Urne øiegen fünf – bis auf die Beschriftung gøeiche – Kugeøn: A, F, M, M, P. Man hat – natürøich „bøind“ – eine Kugeø nach der anderen a ohne, b mit Zurückøegen der gezogenen Kugeø zu ziehen. Zieht man auf diese Weise das Wort MAMPF, so erhäøt man eine Kostprobe gratis. Wie groß ist die Gewinn- chance? 1 Diese Regel ist ein Spezialfall der so genannten Produktregel . Wir werden darauf auf S. 189 zurückkommen. Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv