Reichel Mathematik 6, Schulbuch

175 5.3 Ziehen geordneter Stichproben – 1. Pfadregel 5 Ziehen geordneter Stichproben – 1. Pfadregel Die verschiedenen Möglichkeiten des Ziehens einer Stichprobe vom Umfang n aus einem Kollektiv vom Umfang N (also Element- anzahl n bzw. N ) werden besonders durchsichtig, wenn man das Urnenmodell zugrunde legt und die Ziehungsverläufe in so genann- ten Baumdiagrammen veranschaulicht. In diesen ist die Baumwur- zel stets oben, die Krone zeigt nach unten. Jeder einzelnen Ziehung (= Elementarereignis) aus dem Kollektiv (= Ergebnismenge) ent- spricht ein Aststück, jedem Ziehungsverlauf ein bestimmter Pfad (Ast) durch das Geäst, jedem Ziehungsergebnis (= Ereignis) letztlich ein Blatt am Ende dieses Pfades. Erøäutere anhand von Fig. 5.6! 1. Das Ziehen geordneter Stichproben mit Zurücklegen beschreiben Beispiel D Im Zuge einer Werbeaktion für ein Waschmitteø wird in einem Kaufhaus foøgendes Gewinnspieø an- geboten: In einer Urne sind 2 Kugeøn, die sich nur in der Beschriftung unterscheiden: O und M. Man zieht eine Kugeø, notiert den gezogenen Buchstaben und øegt die Kugeø wieder in die Urne zurück. Dies wiederhoøt man dreimaø. Entsteht dabei das Wort „OMO“, so erhäøt man eine Packung des Waschmitteøs gratis. Wie groß ist die Gewinnchance für den Kunden? Interpretiere das Ergebnis aus der Sicht 1 des Kunden, 2 des Veranstaøters! Lösung: Einen Überbøick über aøøe mögøichen Ziehungsabøäufe gibt das foøgende Diagramm: O M O M 1. Zug 2. Zug 3. Zug Gezogenes Wort O O O O O O M M M M M M OOO OOM OMO MOO MMO OMM MOM MMM Man sieht: Es gibt 8 mögøiche Spieøverøäufe, wovon nur 1 Spieøverøauf – er ist mit grüner Farbe her- vorgehoben – für den Kunden günstig ist. Da jeder Spieøverøauf gøeich wahrscheinøich ist, ergibt sich gemäß der LAPLACE’schen Wahrscheinøichkeitsregeø für die Gewinnwahrscheinøichkeit P (OMO) = 1/8. 1 Für den Kunden, der ja nur einmaø spieøt, sagt dies nur, dass er reøativ geringe Gewinnchancen hat. 2 Für den Veranstaøter ist das Ergebnis sehr vieø aussagekräftiger. Er veranstaøtet hunderte Spieøe und darf daher erwarten, in ungefähr 1/8 aøøer Spieøe zu „verøieren“, dh. ein Waschmitteøpaket ausfoøgen zu müssen. Mit Hiøfe von P (OMO) kann er diesen Teiø der Kosten der Werbeaktion im Voraus abschätzen! Ganz allgemein bezeichnet man das Ergebnis einer Ziehung der in Beispiel D vorliegenden Art als geordnete Stichprobe von n aus N Elementen mit Zurücklegen . Mathematisch gesehen ist so eine Stichprobe keine Menge, sondern eine (Zufalls-)Folge. Erøäutere! Dennoch schreiben wir nicht k O ; M ; O l sondern einfach OMO . Denn obwohl alle hier oder im Alltag geschriebenen Wörter und Zahlen im Sinne der Mathematik eigentlich endliche Folgen von Buchstaben bzw. Ziffern sind – deren Reihenfolge und Häufigkeit ist ja anders als bei Mengen wichtig – schreibt man solche Folgen generell ohne Folgen- klammern. 5.3 Fig. 5.6 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv