Reichel Mathematik 6, Schulbuch

172 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 2. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen mit der LAPLACE’schen Regel berechnen Ist das Drehen des Gøücksrades in Fig. 5.2 ein LAPLACE-Experiment? Die Antwort ist: nein. Die Versuchsergebnisse „ s “ (schwarzes Feld), „ g “ (grünes Feld) und „ w “ (weißes Feld) treten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten auf. Dennoch kann man die Wahrscheinlichkeiten P (s) , P (g) und P (w) – anders als beim Reißnagelwurf – allein durch Überlegen ermitteln: Da für das Er- eignis „ s “ 3 von 8 Sektoren, für das Ereignis „ g “ 4 von 8 Sektoren und für das Ereignis „ w “ 1 von 8 Sek- toren günstig sind bzw. ist und jeder Sektor mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt, gilt offenbar: P (s) = 3 _ 8 P (g) = 4 _ 8 = 1 _ 2 P (w) = 1 _ 8 Nennt man in Verallgemeinerung der Überlegungen jede Teilmenge von Ω ein Ereignis , so gilt die Regel LAPLACE’sche Wahrscheinøichkeitsregeø: Lässt sich ein Ereignis A aus den Versuchsergebnissen ω eines LAPLACE’schen Experiments mit der Ergebnismenge Ω biøden (ist aøso A a Ω ), so giøt: P (A) = Anzahø der für A g ünstigen Versuchsergebnisse ___________________________ Anzahø der m ögøichen Versuchsergebnisse = † A † __ †Ω† = g __ m Bemerkung: Ist A = { } , so heißt A unmögliches Ereignis : P ({ }) = 0 Ist A = Ω , so heißt A sicheres Ereignis : P ( Ω ) = 1 Beispiel C Weøche Wahrscheinøichkeiten haben die foøgenden Ereignisse beim Würfeøn? Die Augenzahø ist a gerade, b ª 5, c >5, d negativ, e ein Teiøer von 60, f kein Teiøer von 60. Lösung: a A = {2; 4; 6} w P (A) = 3 _ 6 = 1 _ 2 b B = {1; 2; 3; 4; 5} w P (B) = 5 _ 6 c C = {6} w P(C) = 1 _ 6 d D = { } w P (D) = 0 _ 6 = 0 (Das Ereignis D ist unmögøich.) e E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω w P (E) = 6 _ 6 = 1 (Das Ereignis E ist sicher.) f F = { } w P (F) = 0 _ 6 = 0 3. Die Gegenereignisregel kennen und anwenden Wie hätte man in Beispieø C die Wahrscheinøichkeit des Ereignisses B aus der Wahrscheinøichkeit des Ereignisses C (offensichtøich einfacher) errechnen können? Begründe! In der Form P (B) = 1 – P (C) , weil ja B ± C = Ω und B ° C = { } gilt und die Menge B somit die Komplemen- tärmenge der Menge C ist. Bei der Anwendung der LAPLACE’schen Wahrscheinlichkeitsregel ist es also manchmal einfacher, statt der für ein Ereignis A günstigen Elementarereignisse die für A ungünstigen Elementarereignisse zu zäh- len. Diese bestimmen das zu A gehörige Gegenereignis A’ , und es gilt die Regel Gegenereignisregeø: P (A’) = 1 – P (A) Beachte, dass in Beispiel C die Menge D zwar die Komplementärmenge von E bezüglich Ω ist und somit P (D) = 1 – P (E) gilt, dennoch aber D kaum als „Gegenereignis“ (im logischen Sinn) von E bezeichnet werden kann. Das trifft wohl nur für die Menge (das Ereignis) F zu. Das mengentheoretische Modell hat also beim Beschreiben von Ereignissen durchaus seine Grenzen. Erøäutere! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv