Reichel Mathematik 6, Schulbuch

171 5.2 Zufallsgeräte und LAPLACE’sche Wahrscheinlichkeit 5 Zufallsgeräte und LAPLACE’sche Wahrscheinlichkeit Die zufällige Auswahl von Stichproben (wie sie etwa für statistische Untersuchungen benötigt werden) geschieht heutzutage vor allem am Computer. Leichter durchschaubar wird sie bei Verwendung von Zufallsgeräten, wie sie bei Gesellschaftsspielen, bei Sportauslosungen, bei Lotterien usw. nach wie vor in Gebrauch sind . 1. LAPLACE’sche Zufallsexperimente mengentheoretisch beschreiben Welches Ergebnis bei einem konkreten Versuch an einem konkreten Zu- fallsgerät eintreten wird, kann man nicht mit Sicherheit vorhersagen – dies hängt vom Zufall ab. Was man mit Sicherheit beschreiben kann, ist die so genannte Ergebnismenge Ω des Experiments, dh. die Menge aller bei diesem Experiment möglichen Versuchsergebnisse (Versuchsausgänge, Versuchsausfälle) ω . Man nennt sie auch Elementarereignisse , weil sie die Elemente der Ergebnismenge Ω sind. Beim einmaligen Werfen einer Münze sind zwei Versuchsergebnisse mög- lich (wir sehen davon ab, dass die Münze am Rand stehen bleibt): Ω = {Kopf; Adøer} = {Vorderseite; Rückseite} = {1; 0} Beim einmaligen Werfen eines Reißnagels sind ebenfalls zwei Versuchs- ergebnisse möglich: Ω = {Spitze unten; Spitze oben} = {1; 0} Beim einmaligen Werfen eines Würfels sind sechs Versuchsergebnisse möglich: die Augenzahlen 1 bis 6 (wieder sehen wir davon ab, dass der Würfel auf einer Ecke oder einer Kante stehen bleibt): Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Beim Ziehen einer Kugel aus der in Fig. 5.2 gezeigten Urne sind drei Versuchsergebnisse möglich: Ω = {weiße Kugeø; grüne Kugeø; schwarze Kugeø} = {w; g; s} Wie vieøe und weøche Ergebnisse sind beim einmaøigen Drehen des Gøücksrades in Fig. 5.2 mögøich? Offensichtlich genügt die Angabe von Ω allein nicht zur vollständigen Beschreibung eines Zufallsexperi- ments. Man muss zusätzlich wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Versuchsergebnisse auftreten. Beim Münzwurf mit einer idealen Münze folgt aus Symmetriegründen , dass beide Seiten mit der glei- chen Wahrscheinlichkeit auftreten. Da nur zwei Fälle möglich sind, gilt: P (1) = 1/2 und P (0) = 1/2 Analog kann man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder Augenzahl bei einem idealen Würfel ermitteln: P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6 . Begründe! In Verallgemeinerung dieses Sachverhalts gibt man die Definition Ein Zufaøøsexperiment, bei dem jedes der n (n * N *\{1}) mögøichen Versuchsergebnisse ω mit der gøei- chen Wahrscheinøichkeit P ( ω ) = 1/n auftritt, heißt LAPLACE’sches (Zufaøøs-)Experiment . Das zugehörige Zufaøøsgerät heißt LAPLACE-Gerät . Der Reißnagel ist – mangels geeigneter Symmetrien – kein LAPLACE-Gerät. Die Versuchsergebnisse treten daher mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten P (1) und P (0) auf. Diese Wahrscheinlichkeiten können nur auf statistischem Weg geschätzt werden . 5.2 F 5.2 A 746 Fig. 5.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv