Reichel Mathematik 6, Schulbuch

165 5.0 Wiederholung (Beschreibende Statistik) und Vorschau 5 2. Minimum und Maximum sowie die Spannweite (Range) ermitteln Geordnete Listen helfen auf einen Blick zu erkennen, in welchem Intervall die Werte liegen, was also insbesondere der kleinste Wert (Minimum) x min und der größte Wert (Maximum) x max ist, der in der Lis- te (eventuell mehrfach) auftritt. Die Breite dieses Intervalls, also die Differenz R = x max – x min , heißt Spannweite ( Range ) und zeigt wie weit die Werte „verstreut“ liegen. Beispiel A (Fortsetzung ) Test 1: x min = 12, x max = 24, R x = x max – x min = 12 Test 2: y min = 10, y max = 21, R y = x max – y min = 11 Werte, die weit ab von allen anderen Werten liegen, heißen statistische Ausreißer . Geordnete Listen zeigen diese sofort und sind daher anders als ungeordnete Listen zum (manipulativen) „Verstecken“ von Ausreißern ungeeignet. Erkøäre am „Verstecken“ eines miøøiardenschweren Vermögens (Ausreißer nach oben), für das kein einziger Cent Steuern bezahøt wird (Ausreißer nach unten), in einer Statistik! 3. Den „durchschnittlichen“ Wert (Mean) berechnen Mehr als den Ausreißern gilt das Interesse im Allgemeinen der großen Masse der Werte, also dem „durchschnittlichen“ Wert. Üblicherweise wird er durch das arithmetische Mittel charakterisiert, das man aus den Werten der ungeordneten oder auch geordneten Liste auf zwei Arten berechnen kann: Berechnung als einfaches arithmetisches Mittel _ x = x 1 + x 2 + … + x n _________ n von n (nicht notwendig verschiedenen) Merkmals- werten x 1 , x 2 , …, x n , die alle mit der Häufigkeit 1 auftreten. Berechnung als gewichtetes arithmetisches Mittel _ x = x 1 ·h 1 + x 2 ·h 2 + … + x m ·h m _______________ n von m verschiedenen Merkmalswerten x 1 , x 2 , …, x m , welche mit den absoluten Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h m auftreten ( n = h 1 + h 2 + … + h m ). Beispiel A (Fortsetzung ) Test 1: _ x = 13 + 20 + … + 15 _________ 10 = 170 ___ 10 = 17 bzw. _ x = 12 · 1 + 13 · 1 + 15 · 2 + … + 24 · 1 _________________ 10 = 17 Test 2: anaøog _ y = 15,1 Das arithmetische Mittel berücksichtigt Ausreißer sehr stark und wird daher gern zur manipulativen Darstellung missbraucht . 4. Den Modalwert (Modus) berechnen Missbraucht wird gerne auch der Modalwert m . Er ist der am häufigsten auftretende Wert der Liste, wobei eine Liste auch mehrere Modalwerte besitzen kann. Begründe! Beispiel A (Fortsetzung ) Test 1: Es gibt zwei Modaøwerte, nämøich m 1 = 15, m 2 = 17 Test 2: m = 12 Beide Modalwerte sind hier kaum aussagekräftig, weil sie nicht die weitaus häufigsten Werte sind! 5. Den Zentralwert (Median) ermitteln Der Zentralwert z von n Zahlen wird stets in der geordneten Liste ermittelt. Er ist 1) für eine ungerade Anzahl n von Listenelementen die genau in der Mitte stehende Zahl, 2) für eine gerade Anzahl n von Listenelementen das arithmetische Mittel der beiden „in der Mitte“ ste- henden Zahlen. Kurz: Der Zentralwert teilt die geordnete Liste in eine „untere“ und eine „obere“ Hälfte. A 719 A 719 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv