Reichel Mathematik 6, Schulbuch

138 Folgen und Grenzprozesse 4 560 Beweise: Wenn k a n l und k b n l Nuøøfoøgen sind, dann ist auch a k a n + b n l , b k a n – b n l , c k a n ·b n l , d k k·a n l mit k * R eine Nuøøfoøge. 561 Beweise – eventueøø unter Rückgriff auf die entsprechenden Sätze über Nuøøfoøgen – aus der Konvergenz- definition (in einer beøiebigen Form): Wenn k a n l ¥ a und k b n l ¥ b, dann giøt: a k a n + b n l ¥ a + b b k a n – b n l ¥ a – b c k a n ·b n l ¥ a·b d k k·a n l ¥ k·a (k * R ) e (b n , b ≠ 0) w k a n __ b n l ¥ a _ b f (b n , b ≠ 0) w k 1 __ b n l ¥ 1 _ b 562 Berechne für die Foøgen k a n l = k 2n – 4 ____ n l und k b n l = k n + 2 ___ 2n l ! a øim n ¥ • (a n + b n ) b øim n ¥ • (a n ·b n ) c øim n ¥ • a n __ b n 563 Was bedeutet der Satz: „Die Foøge k x n l ist divergent“? Begründe anhand einer Skizze mit eigenen Worten, warum die angegebenen Foøgen divergent sind! a 1 k n 2 l 2 k n – n 2 l b 1 k n 3 l 2 k n 3 – n l c 1 k (‒1) n l 2 k (‒1) n · n + 1 ___ n l d 1 k 1 + (‒1) n _____ 2 l 2 k 1 + (‒1) n _____ 2 ·n l 564 Begründe, warum die nachstehenden Foøgen divergent sind! a k n 12 – 3n _____ n 11 l b k n – 2n 15 _____ n 10 l c k n – 2n ‒3 _____ n ‒5 l d k n ‒2 – 2n _____ n ‒3 l 565 Weøche der Foøgen 1 bis 3 sind Nuøøfoøgen? a 1 k n 2 ___ n + 1 l 2 k n ____ n 2 + 1 l 3 k n 2 ____ n 2 + 1 l b 1 k 1 ______ n· “ 3 + 1 __ n § l 2 k 2 – n ___ n 2 l 3 k 1 ______ n 2 ·(n + 1) l 566 Für weøche Foøgen k x n l giøt øim n ¥ • x n = 0? a 1 k 10 __ n! l 2 k 2n __ n! l 3 k n + n! ____ n! l 4 k 2 + n! ____ n! l b 1 k n + 1 __ n! l 2 k (n + 1)! _____ n! l 3 k (n – 1)! ____ n! l 4 k n· (n – 1)! ____ n! l 567 Berechne! a øim n ¥ • (n – 2) 2 _____ n 2 + 3 b øim n ¥ • (n + 1) 3 _____ 2n 4 – 3 c øim n ¥ • “ 7n ____ 2n – 1 – 4n 2 – 1 _____ 5 – 3n 2 § d øim n ¥ • “ 3n 2 – 1 ____ n 2 + 1 – 2n + 1 ____ 3n § e øim n ¥ • “ “ 2 + 3 _ n § · “ 4n 2 ____ 2n 2 – 1 § § f øim n ¥ • “ 3n ____ 2n – 1  2n 2 – 1 ____ n 2 + 2 § 568 Bestimme øim n ¥ • x n und erkøäre, wie du gedacht hast! (Es giøt stets a º 0.) a x n = n 9 __ 2 b x n = n 9 __ 3 c x n = n 9 ____ a + 1 d x n = n 9 __ a ____ 2 + n 9 __ a e x n = 3 + 9 __ n ____ 9 __ n f x n = n 9 __ a ____ 9 __ n + 1 569 Berechne øim n ¥ • x n ! a x n = 3 __ n! b x n = 3n __ n! c x n = 2(n – 1)n ______ n! d x n = n! + a ____ n! e x n = b·n! ___ 2n f x n = z·n! – 2 _____ 1 + u·n! g x n = n + n! ____ n! + 1 h x n = (n + 1)! _____ 2n! 570 Untersuche die Foøge 1 k a n + 1 – a n l , 2 k a n + 1 /a n l ! Was øässt sich daraus für das Konvergenzverhaøten von k a n l „abøesen“? Vergøeiche mit Aufg. 546! a k a n l = k n 2 – 8n l b k a n l = k 6n + n 2 l c k a n l = k (2n – 1)·n l d k a n l = k (n + 1)·2n l Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv