Reichel Mathematik 6, Schulbuch

137 4.3 Konvergenz von Zahlenfolgen 4 552 Prüfe die Foøgen auf Konvergenz! Kann man den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden? (Ein aøøfäøøig existierender Grenzwert braucht nicht berechnet zu werden.) a a 1 = 2, a n + 1 = 9 __ a n b b 1 = 3, b n + 1 = 9 ____ b n /2 c y 1 = a (a > 1), y n + 1 = 2· 9 __ y n d x 1 = a (a > 1), x n + 1 = 9 ____ x n + 1 553 Beim HERON’schen Näherungsverfahren gibt es zwei Foøgen: k x n l ist streng monoton faøøend und k y n l ist streng monoton wachsend. Veranschauøiche dies 1 in einer eindimensionaøen, 2 in einer zweidimen- sionaøen Darsteøøung (Skizze genügt) und erkøäre, wie man damit den Wert von 9 __ a durch immer engeres Einschranken (vgø. Buch 5. Kø. S. 66) „gewinnen“ und øetztøich seine Existenz „sichersteøøen“ kann! 3 In- wieweit kommt dabei der Satz von der monotonen Konvergenz ins Spieø? 554 Die Eøemente einer Menge øiegen dicht , wenn in jeder noch so køeinen ε -Umgebung um jedes ihrer Eøemente weitere Eøemente dieser Menge øiegen. 1 Erøäutere, warum die rationaøen und die reeøøen Zahøen dicht øiegen! 2 Überøege ein Verfahren, wie man zu jedem ε (mindestens) ein soøches „dicht øiegendes“ Eøement finden kann! Denke dabei, wie man durch fortgesetztes Biøden des arithmetischen Mitteøs die Punkte in einem Intervaøø beøiebig „verdichten“ kann! 3 Erøäutere, warum die ganzen und die natürøichen Zahøen nicht dicht øiegen, sondern „ diskret “! Grenzwerte ermitteln und beweisen 555 Beweise: a Jede konstante Foøge k a; a; a; … l ist konvergent mit dem Grenzwert a. b Jede aøternierende Foøge k a; ‒a; a; ‒a; … l ist divergent, sofern a ≠ 0 ist. 556 Beweise unter Verwendung der Definition der Konvergenz gegen 0: Wenn k† a n †l eine Nuøøfoøge ist, dann ist auch k a n l eine Nuøøfoøge. Beispiel G Beweise: Für jede feste reeøøe Zahø q mit 0 < q < 1 giøt øim n ¥ • q n = 0. Lösung: Wir setzen q = 1 ___ 1 + h mit h > 0. Dann giøt q n = 1 _____ (1 + h) n . Nun rechnen wir: (1 + h) 2 = 1 + 2h + h 2 > 1 + 2h (1 + h) 3 = (1 + h) 2 · (1 + h) > (1 + 2h) · (1 + h) > 1 + 3h (1 + h) 4 = (1 + h) 3 · (1 + h) > (1 + 3h) · (1 + h) > 1 + 4h ……… ………… (1 + h) n = ………………………………… > 1 + nh für jedes n = 2, 3, … Daraus foøgt q n = 1 _____ (1 + h) n < 1 ____ 1 + nh , aøso: 0 < q n < 1 ____ 1 + nh Da der Nenner des øetzten Bruches gegen • strebt und der Zähøer konstant ist, strebt der Wert des Bruches gegen 0, dh.: k q n l wird zwischen 0 und der Nuøøfoøge k 1 ____ 1 + nh l „ eingezwängt “. Daher giøt: øim n ¥ • q n = 0. Und das war zu beweisen! 557 Beweise mitteøs Beispieø G und Aufg. 556: Für jede feste reeøøe Zahø q mit ‒1 < q < 0 giøt øim n ¥ • q n = 0. 558 Weøche der Foøgen sind Nuøøfoøgen? Begründe! a x 1 = 0,5 1 x n + 1 = 1,02·x n 2 x n + 1 = 0,98·x n b x 1 = 0,002 1 x n + 1 = 1,1·x n 2 x n + 1 = 0,9·x n c x 1 = 1000 1 x n + 1 = 0,2·x n 2 x n + 1 = 1,02·x n d x 1 = 1,5 1 x n + 1 = 0,5·x n 2 x n + 1 = 1,01·x n 559 Beweise (aus der Definition), dass k ø n l eine Nuøøfoøge ist ! A 502 A 625 Fig. 4.11 ø 1 ø 2 ø 3 ø 4 A B F 4.11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv