Reichel Mathematik 6, Schulbuch

136 Folgen und Grenzprozesse 4 Unendliche Reihen können konvergent sein, also eine Summe haben, uneigentlich divergent sein, also gegen + • oder ‒ • streben, oder divergent sein, also gegen keinerlei „Wert“ streben. Ein ganz einfaches Beispiel für eine konvergente Reihe ist die Reihe 1 + 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 8 + … + 1 __ 2 n + … Gemäß Fig. 4.9 ist offensichtlich, dass die Summe 1 ist, dass also ihre Partialsummenfolge k s n l gegen 1 konver- giert: øim n ¥ • s n = 1 . Begründe! Ein Beispiel für eine uneigentlich divergente Reihe ist die so genannte harmonische Reihe 1 + 1 _ 2 + 1 _ 3 + 1 _ 4 + … + 1 _ n + … Ihre Partialsummen- folge k s n l hat die rekursive Darstellung s 1 = 1 , s n + 1 = s n + 1 ___ n + 1 . Die Exis- tenz einer Summe erscheint angesichts der Tatsache, dass der Zu- wachs 1 ___ n + 1 gegen 0 strebt, naheliegend. Tatsächlich liefert ein gewöhnlicher Taschenrechner als Wert für die Summe eine Zahl (je nach Bauart zwischen 12 und 14 )! Wie die folgende Überlegung beweist, ist dies aber falsch. Erøäutere die Überøegung und ergänze die angedeutete øetzte Køammer! 1 + 1 _ 2 + 1 _ 3 + 1 _ 4 + 1 _ 5 + 1 _ 6 + 1 _ 7 + 1 _ 8 + 1 _ 9 + 1 __ 10 + … + 1 __ 15 + 1 __ 16 + 1 __ 17 + … > 1 _ 2 > 2· 1 _ 4 = 1 _ 2 > 4· 1 _ 8 = 1 _ 2 > 8· 1 __ 16 = 1 _ 2 Durch dieses trickreiche Zusammenfassen erkennt man, dass die Folge k x n l zwar sehr langsam wächst, aber dennoch über alle Grenzen. Die Reihe hat daher die uneigentliche Summe • , also øim n ¥ • s n = • . Angesichts dieser Problematik ist es nicht überraschend, dass die Mathematik schon lange vor dem Computer Formeln und spezielle Methode entwickelt hat, um „große Summen“ einfacher und schneller berechnen zu können als durch mühsames Addieren der Glieder. Darauf werden wir in Kap. 4.6 (Geo- metrische Reihen) oder auch in der 8. Klasse (Stichwort Integralrechnung) eingehen. Überlegungen zum Konvergenzbegriff 547 Gib je zwei Beispieøe an (und begründe sie) für eine a monoton wachsende und gegen a = 10 konvergierende Foøge k x n l , b monoton faøøende und gegen a = 2 konvergierende Foøge k y n l , c gegen a = 5 konvergierende Foøge k z n l , die weder wächst noch fäøøt, d Foøge k a n l mit øim n ¥ • a n = • , e Foøge k b n l mit øim n ¥ • b n = ‒ • ! 548 1 Weøcher unserer Sätze wird durch Fig. 4.10 verdeutøicht? Zitiere den betreffenden Satz (er steht in der „Theorie“ zu diesem Kapiteø)! 2 Gib zwei Beispieøe für Foøgen, die der betreffende Satz meint! 3 Verdeutøiche den Satz auch durch ein Beispieø auf dem Zahøen- strahø! 549 Schreibe den Satz von der monotonen Konvergenz (in beiden Formen) auf und erkøäre genau, was die Voraussetzungen sind und worin die Behauptung øiegt! 550 Beweise: Jede konvergente Foøge ist nach oben und nach unten beschränkt. Giøt auch die Umkehrung dieses Satzes? 551 Beweise: Wenn in einer konvergenten Foøge endøich vieøe Eøemente 1 weggeøassen oder 2 hinzugefügt oder 3 verändert werden, so bøeibt die Konvergenz erhaøten und der Grenzwert ändert sich nicht. Fig. 4.9 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 Fig. 4.10 x n n b 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv