Reichel Mathematik 6, Schulbuch

135 4.3 Konvergenz von Zahlenfolgen 4 Bemerkung: Beachte, dass wir gerade wegen dieser Definition mit Folgen nicht mehr gliedweise mit ein- zelnen („eindimensionalen“) Zahlen rechnen, sondern mit den Folgen als Ganzes , als neues mathemati- sches Objekt, das man als „vieldimensionale“ Zahl auffassen könnte . In Aufg. 561 werden wir die obigen – rein intuitiv ohnedies klaren – Regeln beweisen. Voraussetzung für deren Anwendung ist über ein Repertoire von „einfachen“ Zahlenfolgen zu verfügen, deren Konver- genzverhalten bekannt ist. Auf zwei besonders wichtige Typen von Folgen – arithmetische und geomet- rische – gehen wir in den Kap. 4.4 und 4.5 ein. Im Folgenden stützen wir uns im Moment insbesondere auf die Folgen k c/n k l mit c * R und k * N und k c·q n l mit c * R und 0 < q < 1 , deren Konvergenz gegen 0 intuitiv „eh klar“ ist, dennoch aber sauber bewiesen gehört (Beispiel G). 5. Die besondere Rolle der reellen Zahlen bei Konvergenzüberlegungen kennen Ein letztes Problem sei noch im Zusammenhang mit dem Satz von der monotonen Konvergenz genannt: Denke etwa an die rationale Folge k 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; … l der Dezimalentwicklung von 9 __ 2 ! Sie ist monoton wachsend und nach oben beschränkt (zB ist b = 2 eine obere Schranke), aber nicht nach oben begrenzt . In Q konvergiert die Folge nicht, weil ihr (reeller) Grenzwert 9 __ 2 irrational und so- mit kein Element von Q ist. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist, obwohl die rationalen Zahlen dicht (in R ) liegen , zu „klein“ für Grenzwertüberlegungen. Noch ungünstiger wäre etwa die Menge N oder Z . Während in Q der Begriff der ε -Umgebung und der des Häufungswertes einen Sinn haben, verlieren sie diesen für die diskret liegenden Werte von N oder Z . Erøäutere ! Erst die Lückenlosigkeit der Zah- lengeraden, also die uns schon aus der 5. Klasse bekannte „ Vollständigkeit “ der reellen Zahlen, kann die Existenz von Grenzwerten garantieren. Du siehst: Die Erweiterung der Zahlenbereiche (vgl. Buch 5. Kl. S. 36) bis hin zu den reellen Zahlen ist keine mathematische Spielerei, sondern bittere Notwendigkeit. 6. Reihen als besondere Folgen erkennen und darstellen Eine für die Mathematik besonders wichtige Frage ist die nach der Summe der ersten n bzw. aller Glie- der einer Folge. Für endliche Folgen mit endlich vielen Gliedern (könnte man meinen) ist dies bloß eine (mühsame) Addition, die uns der Computer heute abnimmt. Angesicht dessen, was wir in Kap. 2 der 5. Klasse über Maschinenzahlen gelernt haben und weiter unten zur harmonischen Reihe hören wer- den, ist dem nicht so. Schwieriger ist die Frage, ob durch Summation von unendlich vielen Folgegliedern eine endliche Summe entstehen kann, und wenn ja, wie man diese berechnen kann. Der Schlüssel zur Beantwortung ist die folgende Begriffsbildung: Definition Ein Ausdruck der Form a 1 + a 2 + a 3 + … mit Summanden aus der Foøge k a n l heißt Reihe ; die Foøge k s n l = k a 1 ; a 1 + a 2 ; a 1 + a 2 + a 3 ; … l heißt Partiaøsummenfoøge der Foøge k a n l . Mit dem Begriff der Partialsummenfolge führt man die Frage nach der Summe der Glieder einer unend- lichen Folge auf die Frage nach der Konvergenz einer anderen unendlichen Folge, eben der Partialsum- menfolge, zurück, und kann damit das bisher Gelernte über Folgen nützen. Der Begriff Reihe dient der besseren sprachlichen Abgrenzung gegenüber dem bisherigen Folgenbegriff. Für Reihen ist die folgende Notation mit Summenzeichen , üblich. Das große griechische Buchstabe , (Sigma) soll dabei an Sum- me erinnern, i (wie auch k und ø ) ist als Name für den Index üblich: a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = ; i = 1 n a i und a 1 + a 2 + a 3 + … = ; i = 1 • a i Sprich: „Summe der a i für i von 1 bis n (bzw. bis unendlich).“ Beispiel 1·2 + 2·2 2 + 3·2 3 + … + 9·2 9 = ; i = 1 9 i·2 i = 8194 K 4.7 A 554 A 554 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv