Reichel Mathematik 6, Schulbuch

134 Folgen und Grenzprozesse 4 Beispiel E Berechne den Grenzwert der Foøge k x n l = k 3n + 2 ____ 2n – 1 l ! Lösung: Hier ist der Grenzwert nicht mehr ganz so einfach zu erraten. Lässt man nämøich einfach n ¥ • gehen, so „geht“ x n = 3n + 2 ____ 2n – 1 gegen • __ • . Dieses Symboø besitzt aber keine fest umrissene Bedeutung. Da für jedes a > 0 giøt: • = a· • , kann sich hinter dem Symboø • __ • jede beøiebige positive Zahø a „verstecken“, ebenso aber 0 oder • . Um diese herauszufinden, wenden wir den foøgenden „Umformungstrick“ (Division des Zähøers und des Nenners durch n) an: 3n + 2 ____ 2n – 1 = 3 + 2 __ n ____ 2 – 1 __ n Daraus siehst du, dass die Foøge für n ¥ • offenbar gegen 3 + 0 ___ 2 – 0 = 3 _ 2 strebt. Wieder bedarf es eines strengen Beweises . Wir geben ε > 0 vor und berechnen n 0 wie oben: † x n – 3 _ 2 † = † 3n + 2 ____ 2n – 1 – 3 _ 2 † = † 7 ______ 2 (2n – 1) † = 7 ______ 2 (2n – 1) < ε É n > 7 + 2 ε ____ 4 ε Wenn aøso zB ε = 0,01 ist, dann ist n > 175,5, aøso n 0 = 175. Ist hingegen ε = 0,25, so ist n = 7,5, aøso n 0 = 7. Versuche aus Beispieø D und E einen Weg zur Grenzwertermittøung eines Bruchterms herauszuøesen! Man muss offenbar Zähler und Nenner durch die „höchste“ im Nenner auftretende Potenz von n divi- dieren, um den (eventuell uneigentlichen) Grenzwert ablesen zu können. Nachträglich ist dann aus der Definition (Ungleichung) zu beweisen, dass diese Zahl tatsächlich der Grenzwert ist. Die Konvergenz rekursiv definierter Folgen untersucht man auf anderem Weg: Beispiel F Berechne den Grenzwert a der durch die Rekursion x n + 1 = c· 3 9 __ x n , c > 1 gegebenen Foøge k x n l mit dem Anfangsgøied x 1 = b, b > 1! Lösung: Hier bedenken wir: Wenn k x n l ¥ a giøt, dann giøt natürøich auch k x n + 1 l ¥ a. Für die unbekannte Zahø a muss aøso geøten – vorausgesetzt, k x n l konvergiert: a = c · 3 9 __ a É a 3 = c 3 ·a É a 2 = c 3 É a = c · 9 _ c É øim n ¥ • x n = c· 9 _ c Überøege noch: Könnte a = 0 – wir haben ja durch a dividiert – oder a negativ sein? Nein, denn wegen b > 1 und c > 1 sind aøøe x n > 1. Prüfe nach und argumentiere! 4. Mit (konvergenten) Folgen (als mathematischen Objekten) rechnen Einfacher als der Weg über das Lösen von Ungleichungen ist der Rückgriff auf die folgende Regel Wenn k a n l ¥ a und k b n l ¥ b, dann giøt: 1) k a n ± b n l ¥ a ± b 2) k a n ·b n l ¥ a·b 3) k a n __ b n l ¥ a _ b (b n , b ≠ 0) Die Rechenoperationen für Folgen sind dabei gliedweise erklärt. So ist etwa die Summe k a n l + k b n l zweier Folgen k a n l und k b n l eine Folge k c n l , deren Glieder die Summe der entsprechenden Glieder von k a n l und k b n l sind, wo also für alle n * N gilt c n = a n + b n . Erkøäre (definiere) anaøog die anderen genannten Rechenoperationen für Foøgen! 150501-134 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv