Reichel Mathematik 6, Schulbuch

133 4.3 Konvergenz von Zahlenfolgen 4 Fig. 4.8 veranschaulicht den Sachverhalt für die Folge k 1 _ n l und ε = 3/4 sowie ε = 1/4 einmal in der Funktionsgraphendarstellung, dann am Zahlenstrahl. Erøäutere! Fig. 4.8a 1 1 –1 y = x n x =n 3 4 = 1 4 = ε ε ε ε Fig. 4.8b 1 –1 y = x n x =n 3 4 = 1 4 = 1 4 1 2 1 0 ε ε ε ε Wenn n > 1 , dann † 1 _ n – 0 † < 3/4 dh. n 0 = 1 . Wenn n > 4 , dann † 1 _ n – 0 † < 1/4 dh. n 0 = 4 . Erkøäre, wie die beiden Figuren zusammenhängen! Kippe dazu den eindimensionaøen Graphen in Fig. 4.8b um +90° und øege ihn passend über den zweidimensionaøen Graphen in Fig. 4.8a! Erøäutere weiters, warum die Foøge k 1; 1 _ 2 ; 1; 1 _ 3 ; 1; 1 _ 4 ; 1 … l nicht konvergent ist, weder mit dem „Grenz- wert“ 0, noch mit dem „Grenzwert“ 1! Antwort: In jeder noch so kleinen Umgebung U ε (0) liegen zwar unendlich viele Glieder x n , aber nicht fast alle Glieder; denn auch in jeder noch so kleinen Umgebung U ε (1) liegen unendlich viele Glieder. Die Folge ist daher nicht konvergent – wohl aber ihre Teilfolgen mit geraden bzw. ungeraden Indizes. Erøäutere! Zur besseren begrifflichen Unterscheidung solcher Sachverhalte gibt man die Definition Eine Zahø a heißt Häufungswert einer Foøge, wenn in jeder (auch noch so køeinen) ε -Umgebung von a unendøich vieøe Gøieder der Foøge øiegen. Beachte, dass wie beim Grenzwert auch der Häufungswert eine reelle Zahl sein muss! 3. Konvergenz gegen die Zahl a vermuten und beweisen Die Vermutung , dass eine Folge gegen eine Zahl a konvergiert, gewinnt man meist aus einem genügend langen Anfangsstück der Folge oder aus dem eindimensionalen oder zweidimensionalen Graphen. In den folgenden Beispielen ist diese Vermutung bereits ausgesprochen und „nur“ noch zu beweisen. Die- ser Beweis kann durch Rückgriff auf eine der Definitionen (wie in den Beispielen D und E ) oder durch geschickte Überlegungen (wie im Beispiel F) erfolgen: Beispiel D Berechne den Grenzwert der Foøge 1 k x n l = k n – 1 ___ n l , 2 k x n l = k 2n 2 – 3n + 1 _______ n 3 + 2 l ! Lösung: 1 Die Umformung des „aøøgemeinen“ (dh. n-ten) Gøiedes x n = n – 1 ___ n zu x n = 1 – 1 _ n zeigt dir, dass die Foøge offenbar gegen 1 strebt. Um dies nun auch präzise zu beweisen, musst du zeigen, dass die Kriterien der Konvergenzdefinition erfüøøt sind. Wir geben aøso ein (beøiebig køeines) ε > 0 vor und zeigen, dass ab einem gewissen n 0 aøøe Gøieder der Foøge k x n l die Bedingung † x n – 1 † < ε erfüøøen. Dieses n 0 kann man øeicht berechnen: † n – 1 ___ n – 1 † < ε É † 1 – 1 _ n – 1 † < ε É 1 _ n < ε É n > 1 _ ε Faøøs aøso zB ε = 0,01 ist, dann muss n > 100 sein, aøso ist n 0 = 100. 2 Division von Zähøer und Nenner durch n 3 øiefert x n = 2 __ n – 3 __ n 2 + 1 __ n 3 _______ 1 + 2 __ n 3 , aøso øim n ¥ • x n = 0 _ 1 = 0, wofür wir natürøich anaøog zu 1 einen Beweis angeben müssten. (Siehe Beispieø E!) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv