Reichel Mathematik 6, Schulbuch

132 Folgen und Grenzprozesse 4 2. Die (Notwendigkeit der) Präzisierung des Konvergenzbegriffs verstehen Beispiel 1: Beispiel 2: Fig. 4.7a ø 1 ø 2 ø 3 r r Fig. 4.7b ø 1 ø 2 ø 3 ø 4 A ø B Die Längen der Streckenzüge ø 1 , ø 2 , ø 3 , …, ø n , … bil- den offenbar eine Folge, die gegen den Umfang des Halbkreises u = r π konvergiert. Da man – zB für r = 1 – die Längen ø i der Streckenzüge leicht berechnen kann , lassen sich so beliebig genaue Näherungswerte für die Zahl π ermitteln. Hier nun bilden die Halbkreisbögen jeweils Kurven mit den Längen ø 1 , ø 2 , ø 3 , …, ø n , … Diese Folge scheint gegen die Länge ø der Strecke AB zu konvergieren. Aber stimmt das wirklich? Wir berechnen: ø 1 = ø _ 2 · π ; ø 2 = 2· ø _ 4 · π ; ø 3 = 4· ø _ 8 · π usw. Wir erkennen: Alle ø i sind gleich groß, nämlich ø· π /2 . Die Folge k ø n l ist daher die konstante Folge k ø· π /2; ø· π /2; ø· π /2; … l . k ø n l kann also nicht gegen ø konvergieren! Offensichtlich kommt es bei der „Annäherung“ darauf an, dass mit wachsendem Index n der Abstand von x n zum (vermuteten) Grenzwert a immer kleiner und kleiner wird und letztlich „verschwindet“. Mit anderen Worten: Die Folge k x n l ist konvergent gegen a , wenn es zu jeder (noch so kleinen) Zahl ε > 0 einen Index n 0 * N gibt, sodass für alle späteren (dh. größeren) Indizes n gilt † x n – a † < ε . Mathematisch streng formalisiert lautet das: Å ε > 0 Æ n 0 : n > n 0 w † x n – a † < ε Beachte, dass alle ab einem gewissen Index n 0 auftretenden Folgenglieder die Ungleichung erfüllen müssen. Da vor n 0 nur endlich viele Folgenglieder liegen, könnte man auch sagen: Die Folge k x n l ist konvergent gegen a , wenn für fast alle (dh. a lle bis auf endlich viele ) Folgenglieder gilt: † x n – a † < ε Durch Einführung eines in der Mathematik weithin üblichen Begriffes, des Umgebungsbegriffes, gelangt man über dessen Definition Das Intervaøø ]a – ε ; a + ε [ heißt eine ε -Umgebung von a . Wir schreiben: ]a – ε ; a + ε [ = {x ‡ a – ε < x < a + ε } = {x ‡† x – a † < ε } = U ε (a) a U (a) x a + ε ε ε a – zu einer besonders bündigen Formulierung der Konvergenz: Definition Eine Zahø a heißt Grenzwert einer Foøge, wenn in jeder (auch noch so køeinen) ε -Umgebung von a fast aøøe (dh. aøøe bis auf endøich vieøe) Gøieder der Foøge øiegen. Foøgen, für die eine soøche Zahø a existiert, heißen konvergent . Ist insbesondere a = 0, so heißt die Foøge Nuøøfoøge . Foøgen, für die a den „Wert“ + • oder ‒ • hat, heißen bestimmt divergent . Existiert überhaupt kein soøches a , so heißt die Foøge divergent . A 490 A 491 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv