Reichel Mathematik 6, Schulbuch

131 4.3 Konvergenz von Zahlenfolgen 4 Konvergenz von Zahlenfolgen 1. Den Satz von der monotonen Konvergenz als Konvergenzkriterium verstehen Was vermutest du aus den Graphen der Foøgen k 1 _ n l , k ‒ 1 _ n l und k (‒1) n – 1 · 1 _ n l für deren Entwickøung? Fig. 4.6a 1 1 –1 0 y = x n x =n Fig. 4.6c 1 1 –1 0 y = x n x =n Fig. 4.6b 1 1 –1 0 y = x n x =n Mit wachsendem n ¥ • nähern sich die Folgenglieder x n offenbar immer mehr der Zahl 0 , ohne sie je zu erreichen. Man hat für dieses Verhalten einer Folge verschiedene Sprechweisen: die Folge k x n l besitzt den Grenzwert (Limes 1 ) 0: øim n ¥ • x n = 0 oder k x n l ¥ 0 , oder die Folge k x n l ist eine Nullfolge , oder die Folge k x n l konvergiert (strebt) gegen 0 . Offenbar geschieht dies in Fig. 4.6a streng monoton fallend gegen die größte untere Schranke 0 , in Fig. 4.6b streng monoton wachsend gegen die kleinste obere Schranke 0 , in Fig. 4.6c alternierend um die Zahl 0 , wobei je eine Teilfolge für sich streng monoton fallend bzw. wachsend und nach unten bzw. oben beschränkt ist. Dieser anschaulich klare Sachverhalt lässt sich verallgemeinern zum Satz Satz von der monotonen Konvergenz: Eine monoton faøøende und nach unten beschränkte Foøge k x n l ist konvergent . Eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Foøge k x n l ist konvergent . Der jeweilige Grenzwert a stimmt dann mit der größten unteren Schranke (untere Grenze, Infimum ) oder der kleinsten oberen Schranke (obere Grenze, Supremum ) überein. Man schreibt øim n ¥ • x n = a oder k x n l ¥ a und nennt die Folge k x n l konvergent 2 gegen den Grenzwert a . Existiert kein a , gegen das die Folge strebt, so heißt die Folge a divergent 3 . Strebt die Folge insbesondere gegen + • oder ‒ • , so heißt die Folge bestimmt divergent . Das Problem dabei ist nur: Existiert diese Grenze überhaupt, und wenn ja, wie findet man sie? Gemäß Kap. 4.2 können wir zwar die Monotonie und die Schranken der Folgen mittels Ungleichungen nachwei- sen, nicht aber, ob die betrachtete Schranke auch Grenze (und damit Grenzwert) ist. Zudem muss der Grenzwert der Folge – wie in Fig. 4.6c – nicht unbedingt Grenze der Folge sein. Offenbar kommt es mehr darauf an, den Prozess der Annäherung selbst genau zu betrachten. Dass dabei die Anschauung richtige wie auch falsche Gedankengänge nahelegen kann, zeigen die folgenden beiden Beispiele. 1 Limes (lat.) … Grenzwall 2 konvergieren … (aus dem Lateinischen) auf einen Punkt zusammenstreben 3 divergieren … (aus dem Lateinischen) auseinander streben 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv