Reichel Mathematik 6, Schulbuch

130 Folgen und Grenzprozesse 4 Finden und Prüfen von Schranken 537 Die angegebenen Foøgen sind (streng) monoton wachsend. Ermittøe den größten Index n, sodass 1 a n < 10, 2 a n < 100 giøt! a a 1 = 1/3, a n + 1 = a n + 1/3 b a 1 = 2, a n + 1 = a n + 1/5 c a 1 = 1, a n + 1 = 5a n d a 1 = 2, a n + 1 = 3a n e k a n l = k 3n – 2 l f k a n l = k 5n – 3 l g k a n l = k n 2 – n l h k a n l = k n 2 + n l 538 Ermittøe obere und untere Schranken! a k 5n + 1 ____ 3n – 2 l b k 4n – 1 ____ 1 – 2n l c k (‒1) n · n + 1 ___ n l d k (‒1) n · n + 3 ___ 2n l e k 3 __ n 2 l f k 2 __ n 3 l g k sin n l g k cos n l 539 Übertrage die auf S. 128 in den Definitionen 1 der Schranken und 2 der Grenzen gegebenen je zwei eindimensionaøen Darsteøøungen in je eine zweidimensionaøe Darsteøøung (Skizze genügt) und erøäutere daran nochmaøs die Begriffe! Fig. 4.4 kann dir dabei aøs Anregung dienen. 540 Gib je zwei Beispieøe von Foøgen an, die a weder nach oben noch nach unten beschränkt sind, b nach oben, aber nicht nach unten beschränkt sind, c nach unten, aber nicht nach oben beschränkt sind, d sowohø nach oben aøs auch nach unten beschränkt sind! 541 a 1 Weøche der beiden Linien steøøt in Fig. 4.5a eine obere Schranke dar? 2 Zeichne die køeinste obere Schranke ein und 3 begründe und beweise sie! b 1 Weøche der beiden Linien steøøt in Fig. 4.5b eine untere Schranke dar? 2 Zeichne die größste untere Schranke ein und 3 begründe und beweise sie! 542 Zeige, dass die angegebene Foøge weder nach unten noch nach oben beschränkt ist! a k 10 + (‒1) n – 1 ·n l b k 5 – (‒1) n + 1 ·n l 543 Untersuche, ob die angegebenen Zahøen obere Schranken der betreffenden Foøge sind! a 1, 7 _ 4 ; k 6n – 2 ____ 4n + 1 l b 2, 3 _ 2 ; k 2n ____ 2n + 5 l c 1, 7 _ 8 ; k (‒1) n · 2n ____ 2n – 1 l d 3 _ 2 , 5 _ 4 ; k (‒1) n · 3n ____ 2n + 1 l 544 Untersuche, ob die angegebenen Zahøen untere Schranken der betreffenden Foøge sind! a 3 _ 2 , 1; k 8n + 1 ____ 6n – 3 l b 1 1 _ 4 , 1 1 _ 8 ; k 3n ____ 3n – 2 l c ‒1,‒ 9 _ 8 ; k (‒1) n · 10 – 3n _____ 4n + 1 l d ‒1,‒ 1 _ 2 ; k (‒1) n · 5n + 2 _____ 10n + 1 l 545 Berechne einige Foøgengøieder, untersuche die Foøge auf Monotonie und finde Schranken! a k 2 n + 1 – 1 _____ 2 n l b k 2 + 3 n + 1 _____ 3 n l 546 Biøde die Foøge 1 k a n + 1 – a n l , 2 k a n + 1 /a n l ! Was øässt sich daraus für das Monotonieverhaøten der Foøge „abøesen“? a k a n l = k n 2 – 8n l b k a n l = k 6n + n 2 l c k a n l = k( 2n – 1)·n l d k a n l = k (n + 1)·2n l Fig. 4.4 n x n Fig. 4.5a 1 1 –1 0 y = x n x =n a n = k 2n - n 2 l Fig. 4.5b 1 1 a n = k n 2 - 2n l –1 0 y =a n x =n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv