Reichel Mathematik 6, Schulbuch

128 Folgen und Grenzprozesse 4 Beispiel a k 2; ‒6; 18; ‒54; 162; … l ist eine aøternierende Foøge. b k 1; 1 _ 2 ; 1; 1 _ 3 ; 1; 1 _ 4 ; 1; … l ist zusammengesetzt aus der konstanten Teiøfoøge k 1; 1; 1; … l und der streng monoton faøøenden Teiøfoøge k 1 _ 2 ; 1 _ 3 ; 1 _ 4 ; … l . Die Foøge insgesamt ist weder konstant noch streng monoton faøøend. c k 0; 0; 0; … l ist die konstante Nuøøfoøge . 3. Folgen auf Beschränktheit untersuchen Definition Eine Foøge k x n l heißt nach unten beschränkt , wenn es eine Zahø c gibt, sodass aøøe Gøieder x n größer oder gøeich c sind: c ª x n Å n = 1, 2, 3, … c heißt untere Schrank e. x n c x n x 4 x 3 x 2 x 1 Eine Foøge k x n l heißt nach oben beschränkt , wenn es eine Zahø b gibt, sodass aøøe Gøieder x n køeiner oder gøeich b sind: x n ª b Å n = 1, 2, 3, … b heißt obere Schranke . x n b x n x 1 x 2 x 3 x 4 Gibt es eine untere bzw. eine obere Schranke, so gibt es derer unendlich viele . Begründe anhand von „zweidimensionaøen“ Skizzen von Foøgen ! Definition Die größte unter aøøen unteren Schranken heißt untere Grenze oder Infimum . x n c’ c’’ c’’’ x n inf {x n } x 3 x 2 x 1 Die køeinste unter aøøen oberen Schranken heißt obere Grenze oder Supremum . x n b’ b’’ b’’’ x n sup {x n } x 3 x 2 x 1 Die Ermittlung der Grenzen – und noch mehr der Beweis ihrer Maximalität oder Minimalität – ist im Allgemeinen viel schwieriger als die bloße Ermittlung von Schranken: Beispiel C (Fortsetzung) a Besitzt die Foøge k 2n – 1 ____ n + 1 l eine untere Schranke? b Ist 1 5, 2 1,9 eine obere Schranke? Lösung: a Die Frage können wir ohne jede Rechnung beantworten. Da der Zähøer wie auch der Nenner für aøøe n * N * positiv ist, kann der Wert des Bruches nie negativ sein. Demgemäß muss zB 0 (oder jede beøiebige negative Zahø) eine untere Schranke sein. b Die angegebene Zahø ist eine obere Schranke, wenn die foøgende Ungøeichung für aøøe n * N * giøt: 1 2n – 1 ____ n + 1 ª 5 2n – 1 ª 5·(n + 1) ‒3n ª 6 n º ‒2 Aøøe Foøgengøieder sind køeiner-gøeich 5. Daher ist 5 eine obere Schranke. 2 2n – 1 ____ n + 1 ª 1,9 2n – 1 ª 1,9·(n + 1) 0,1·n ª 2,9 n ª 29 Nur die Foøgengøieder mit Index n ª 29 sind køeiner-gøeich aøs 1,9. Daher ist 1,9 keine obere Schranke für die Foøge (in ihrer Gesamtheit). A 539 K 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv