Reichel Mathematik 6, Schulbuch

127 4.2 Graphische Darstellung – Monotonie und Schranken 4 Graphische Darstellung – Monotonie und Schranken Da Folgen (vgl. S. 122 unten) „nur“ spezielle Funktionen sind, kann man viele allgemeine Fragen zur Darstellung und zu den Eigenschaften von Funktionen (vgl. Buch 5. Kl. Kap 4) auf Folgen übertragen: 1. Folgen auf verschiedene Arten graphisch darstellen Neben der zweidimensionalen Darstellung im (kartesischen) Koordinatensystem als „Perlenschnur“ gibt es für Folgen zusätzlich auch eine eindimensionale Darstellung : Beispiel C Steøøe die Foøge k 2n – 1 ____ n + 1 l 1 auf dem Zahøenstrahø („eindimensionaø“), 2 in einem (kartesischen) Koordinatensystem („zweidimensionaø“) bis zum Index n = 5 dar! Lösung: Die ersten fünf Gøieder dieser Foøge øauten: k 1/2; 3/3; 5/4; 7/5; 9/6 l = k 0,5; 1; 1,25; 1,4; 1,5 l 1 1 0 2 x n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 2 1 0 2 3 4 y =a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 x =n 2. Folgen auf Monotonie untersuchen Vergøeiche die foøgende Definition mit der im Buch 5. Kø. S. 111! Was fäøøt dir auf? Definition Giøt für aøøe Indizes n = 1, 2, 3, … einer Foøge k x n l eine der foøgenden Aussagen, so hat die Foøge k x n l die jeweiøs angegebene Eigenschaft: x n < x n + 1 … k x n l ist streng monoton wachsend x n ª x n + 1 … k x n l ist monoton wachsend x n = x n + 1 … k x n l ist konstant x n º x n + 1 … k x n l ist monoton faøøend x n > x n + 1 … k x n l ist streng monoton faøøend Foøgen, deren Gøieder abwechseønd positiv und negativ sind, heißen aøternierend . Die Untersuchung auf Monotonie führt rechnerisch auf das Lösen von Ungleichungen : Beispiel C (Fortsetzung) Vermute aus der graphischen Darsteøøung, ob (und wenn ja, weøcher Typ von) Monotonie vorøiegt! Beweise deine Vermutung! Lösung: Es scheint sich um eine streng monoton wachsende Foøge zu handeøn. Beweisen können wir dies durch Lösen der Ungøeichungen auf zwei (gøeichwertige) Arten: 1. Methode: Wir zeigen a n < a n + 1 2n – 1 ____ n + 1 < 2·(n + 1) – 1 _______ (n + 1) + 1 , aøso 2n – 1 ____ n + 1 < 2n + 1 ____ n + 2 Wir muøtipøizieren die Ungøeichung mit dem Ausdruck (n + 1)·(n + 2). Da dieser für aøøe n * N * stets positiv ist, ändert sich am Ungøeichheits- zeichen nichts und wir erhaøten (2n – 1)·(n + 2) < (2n + 1)·(n + 1), aøso 2n 2 + 3n – 2 < 2n 2 + 3n + 1 Dies ist eine für aøøe n * N * wahre Aussage. 2. Methode: Wir zeigen a n – a n + 1 < 0 2n – 1 ____ n + 1 – 2·(n + 1) – 1 _______ (n + 1) + 1 = 2n – 1 ____ n + 1 – 2n + 1 ____ n + 2 = (2n – 1)·(n + 2) – (2n + 1)·(n + 1) ___________________ (n + 1)·(n + 2) = … = ‒3 ________ (n + 1)·(n + 2) < 0 Dies ist eine für aøøe n * N * wahre Aussage, weiø der Zähøer stets negativ und der Nenner stets positiv ist, womit der Wert des Bruches stets negativ ist. 4.2 A 530 A 531 K 3 K 3 150501-127 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv