Reichel Mathematik 6, Schulbuch

126 Folgen und Grenzprozesse 4 519 Wie Beispieø B für die Foøgen k z n l . a 1 z n = 2 n + 2 2 z n = 2 n + 5 3 z n = 2 n + a b 1 z n = 2 n – 1 2 z n = 2 n – 1 ·2 3 z n = 2 n – 1 ·b 520 Wie Beispieø B für die Foøgen k x n l . a 1 x n = (n – 1) 2 2 x n = (n – 1) 2 + 3 3 x n = (n – 1) 2 – a b 1 x n = (n + 2) 2 2 x n = (n + 2) 2 + 1 3 x n = (n + 2) 2 + a 521 Wie Beispieø B für die Foøgen k b n l . a 1 b n = 3 n 2 b n = 5·3 n 3 b n = (‒1)·3 n b 1 b n = (‒2) n 2 b n = 3·(‒2) n 3 b n = (‒1)·(‒2) n c 1 b n = 1 __ 2 n 2 b n = 4 __ 2 n 3 b n = 3· 1 __ 2 n d 1 b n = x n 2 b n = 2·x n 3 b n = 0,5·x n 522 Finde eine expøizite (Term-)Darsteøøung des n-ten Gøiedes x n für die Foøge: x 1 = ax 0 + b; x 2 = a 2 x 0 + ab + b; x 3 = a 3 x 0 + a 2 b + ab + b; … 523 a Leite aus der rekursiven Darsteøøung von n! die foøgende Termdarsteøøung her: n! = n·(n – 1) (n – 2)·…·2·1 b Berechne: 1 3!, 2 6!, 3 10!, 4 12!, 5 16! c In einer Køasse sind 1 15, 2 20 Schüøerinnen und ebenso vieøe Sitzpøätze. Wie vieøe verschiedene Sitz- reihenfoøgen („Sitzpøäne“ aøs Zuordnung der Schüøerinnen zu den Sitzpøätzen) gibt es? Die erste setzt sich (wie vieøe Mögøichkeiten hat sie?), die zweite (wie vieøe Mögøichkeiten bøeiben dieser noch?) usw. 524 Die Foøge k a n l wird rekursiv erkøärt: „a 1 sei irgendeine natürøiche Zahø; a n + 1 hängt davon ab, ob a n gerade ist oder nicht. Faøøs a n gerade ist, setze a n + 1 = a n /2; faøøs a n ungerade ist, setze a n + 1 = 3a n + 1.“ a Berechne die ersten 15 Gøieder dieser Foøge für 1 a 1 = 3, 2 a 1 = 6, 3 a 1 = 52, 4 zwei beøiebige Werte a 1 (3 < a 1 ª 20)! Was fäøøt dir auf? b Wie sehen die weiteren Gøieder aus, wenn ein Foøgengøied a i den Wert 4 annimmt? c Gib ein Computer-Programm an! Bemerkung: Ein Computerspeziaøist der Universität Tokyo hat diese Foøgen für aøøe Anfangsgøieder a 1 * N * mit 1 ª a 1 ª 1,2·10 12 bestimmt; sie enden aøøe in einer Periode 4; 2; 1; 4; 2; 1; … Man vermutet, dass dies aøøe derartigen Foøgen tun, dh. für jedes beøiebige Anfangsgøied a 1 . Trotz vieøer Bemühungen geøang bisher kein Beweis ! 525 Die Foøge k f n l der so genannten FIBONACCI-Zahøen ist rekursiv definiert durch f 0 = 0; f 1 = 1, f n + 1 = f n + f n – 1 (n = 1, 2, 3, …) a Ermittøe 1 f 2 , 2 f 3 , 3 f 15 ! b Erkøäre die foøgende Behauptung und gib insbesondere die Voraussetzungen an, unter denen sie richtig ist: „ k f n l beschreibt das Anwachsen einer Bakterien- oder Kaninchenfamiøie von Generation zu Generation, wenn jedes Tier nach jeweiøs gøeichen Zeitabständen – mit Ausnahme des jeweiøs ersten dieser Ab- stände – stets einen Nachkommen hat“. c Beweise: Je zwei benachbarte FIBONACCI-Zahøen sind teiøer- fremd, dh.: außer 1 haben sie keinen gemeinsamen Teiøer. d Rechne die foøgende Eigenschaft der FIBONACCI-Zahøen für die ersten fünf Gøieder nach! f n = 1 __ 9 __ 5 · “ “ 1 + 9 __ 5 ____ 2 § n – “ 1 – 9 __ 5 ____ 2 § n § 526 Was, meinst du, ist eine periodische Foøge? Gib ein Beispieø einer Foøge mit der Periodenøänge 1 vier, 2 fünf, 3 eins! S 123 150501-126 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv