Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Rechnerische Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme Sind zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen gegeben, die zusammengehören, weil ein Zahlenpaar gesucht ist, das sowohl die erste als auch die zweite Gleichung erfüllt, spricht man von einem linearen Gleichungssystem in zwei Variablen . Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen hat folgende Form: a 1 ·x + a 2 ·y = a 0 (a 1 , a 2 , a 0 * R , a 1 und a 2 nicht zugleich 0) b 1 ·x + b 2 ·y = b 0 (b 1 , b 2 , b 0 * R , b 1 und b 2 nicht zugleich 0) Ein Zahlenpaar (x 1 y) ist Lösung des Gleichungssystems , wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen. Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode): Aus einer Gleichung wird eine Variable durch die andere ausgedrückt. Der erhaltene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt: x – 5 y = 17 w x = 17 + 5 y w x = 2 2 x + 3 y = ‒5 w 2 (17 + 5 y) + 3 y = ‒5 w y = ‒3 Lösung: (2 | ‒3) Eliminationsmethode (Additionsmethode): Eine Gleichung oder beide Gleichungen werden mit geeigneten Zahlen multipliziert, sodass beim Addieren der beiden Gleichungen eine Variable wegfällt: x – 5 y = 17 |·(‒2) w + ‒2 x + 10 y = ‒34 w 13 y = ‒39 w y = ‒3 w x = 2 Lösung: (2 | ‒3) 2 x + 3 y = ‒5 2 x + 3 y = ‒5 Komparationsmethode (Gleichsetzungsmethode): Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Variable durch die andere ausgedrückt. Dann wer- den die erhaltenen Terme gleichgesetzt: x – 5 y = 17 w x = 17 + 5 y w 17 + 5 y = ‒ ​ 5 _ 2 ​– ​ 3 _ 2 ​y w y = ‒3 w x = 2 Lösung: (2 | ‒3) 2 x + 3 y = ‒5 w x = ‒ ​ 5 _ 2 ​– ​ 3 _ 2 ​y Löse das lineare Gleichungssystem ‒x + 6 y = 8 4 x + 3 y = ‒8 mit der Substitutionsmethode! Lösung: Die erste Gleichung wird umgeformt zu x = 6 y – 8. Der Term 6 y – 8 wird in die zweite Gleichung für x eingesetzt: 4 (6 y – 8) = ‒8 w 24 y – 32 = ‒8 w 24 y = 24 w y = 1 Da x = 6 y – 8 und y = 1, ist x = 6·1 – 8, also x = ‒2 Lösung: (‒2 1 1) Löse das lineare Gleichungssystem 2 x + 3 y = 5 ‒6 x + 9 y = 1 mit der Eliminationsmethode! Lösung: Die erste Gleichung wird mit 3multipliziert, dann addiert man beide Gleichungen: 2 x + 3 y = 5 |·3 w + 6 x + 9 y = 15 w 0 = 16 (falsche Aussage) ‒6 x – 9 y = 1 ‒6 x – 9 y = 1 Es gibt demnach kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung . 3.22 O Ó 3.23 O Ó Ó Demo – 3tc2ab 81 N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv