Mathematik verstehen 4, Schulbuch

2.8 MERKwürdiges: Quadratische Gleichungen 71 Wie viele Lösungen hat eine Gleichung? Gleichungen der Form a·x + b = 0 (mit a ≠ 0) haben für die Variable x stets genau eine Lösung, und zwar: x = ‒ ​ b _ a ​. Ist dies auch der Fall, wenn statt x die Potenz x 2 in der Gleichung vorkommt? So kann zB die Gleichung 2 x 2 – 18 = 0 so umgeformt werden: 2 x 2 = 18, dh. x 2 = 9. Jene Zahl x erfüllt nun diese Gleichung, die quadriert die Zahl 9 ergibt. Es sind aber zwei Zahlen, für die das gilt, nämlich 3 und ‒3, da 3 2 = 9 bzw. (‒3) 2 = 9. Es gibt demnach Gleichungen, die mehr als eine Lösung haben. Vermutlich hängt dies damit zusammen, dass nicht mehr nur x, sondern x 2 in der Gleichung vorkommt. Man könnte nun annehmen, dass alle Gleichungen, in denen die zweite Potenz einer Variablen vorkommt, auch zwei Lösungen haben. Probieren wir es aus: 5 x 2 – 20 = 0 w 5 x 2 = 20 w x 2 = 4 Die Lösungen sind also x = 2 bzw. x = ‒2. 8 x 2 = 0 w x 2 = 0 Die einzige Lösung ist x = 0. 4 x 2 + 100 = 0 w 4 x 2 = ‒100 w x 2 = ‒25 Keine reelle Zahl x erfüllt diese Gleichung. Diese drei Gleichungen zeigen, dass zumindest drei Lösungsfälle auftreten können: zwei Lösungen , eine Lösung oder keine Lösung . Was sind quadratische Gleichungen? Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung in der Variablen x ist a·​x​ 2 ​+ b·x + c = 0 mit a, b, c * R und a ≠ 0. Die Zahlen a, b und c nennt man Koeffizienten. Wir haben schon zwei Sonderfälle betrachtet: –– Sind b = 0 und c = 0 , bleibt nur noch a·​x​ 2 ​= 0 . Diese Gleichung hat stets nur eine einzige Lösung, nämlich x = 0, ganz egal, welche reelle Zahl der Koeffizient a ist. –– Ist b = 0 , bleibt nur noch a·x 2 + c = 0 . Nun kann man wie gewohnt umformen: a·x 2 + c = 0 w a·x 2 = ‒c w x 2 = ‒ ​ c _ a ​ Ist ​ c _ a ​< 0, dann ist x 2 eine positive Zahl und es gibt zwei reelle Lösungen. Ist ​ c _ a ​> 0, dann ist x 2 eine negative Zahl und es gibt keine reelle Lösung. Bleibt nur noch der Sonderfall c = 0 , also a·x 2 + b·x = 0 . Hier kann x herausgehoben werden: x·(a·x + b) = 0 Damit das Produkt 0 ergibt, muss entweder der Faktor x oder der Faktor (a·x + b) gleich 0 sein. Damit hat man aber schon die beiden Lösungen: x = 0 bzw. x = ‒ ​ b _ a .​ Sind alle drei Koeffizienten ungleich 0, kann es auch nur zwei reelle Zahlen, genau eine reelle Zahl oder keine reelle Zahl als Lösung(en) geben. Probiert es aus! Mehr dazu erfahrt ihr in Mathematik verstehen 5. Nur zu Prüfzwecken – Eige um des Verlags öbv