Mathematik verstehen 4, Schulbuch

2.6 Mathematische Modelle und die Wirklichkeit Ungleichungen Für welche reellen Zahlen x gilt 4 x – 5 > 7? Lösung: 4 x – 5 > 7 w 4 x > 12 w x > 3 Für alle x, die größer als 3 sind, ist die Ungleichung erfüllt. Das Lösen von Ungleichungen erfolgt grundsätzlich so wie das Lösen von Gleichungen. Es gelten auch hier Elementarumformungsregeln. Ein wesentlicher Unterschied ist jedoch fol- gender: Wird bei einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert , dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um : Elementarumformungsregeln für Ungleichungen Für Terme A, B, C gilt: A + B < C É A < C – B A·B < C É A < ​ C __ B ​ (B > 0) A·B < C É A > ​ C __ B ​ (B < 0) A – B < C É A < C + B ​ A __ B ​< C É A < C·B (B > 0) ​ A __ B ​< C É A > C·B (B > 0) Bemerkung: Diese Regeln gelten auch, wenn man „<“ und „>“ durch „ª“ und „º“ ersetzt. Sie gelten ebenfalls, wenn alle Ungleichheitszeichen umgedreht werden. Für welche reellen Zahlen b gilt 7 – 3b ª 22? Lösung: 7 – 3b ª 22 ‒3b ª 15 Nun wird durch ‒3 dividiert: Das Ungleichheitszeichen dreht sich um. b º ‒5 Für alle b, die größer gleich ‒5 sind, ist die Ungleichung erfüllt. Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Für welche reellen Zahlen x gilt die folgende Ungleichung? a) 15 x + 8 ª 23 c) 4 x – 9 ª 2 x + 11 e) ​ 4 x + 3 ____ 8 ​º ​ 2 (x – 1) _____ 4 ​ g) 2,5 (x – 7) < 0 b) 2 x + 3 > 9 d) 7x – 16 > 5 x – 4 f) ​ x (3 x + 3) ______ 3 ​< ​ x (4 x + 4) ______ 4 ​ h) (2 x + 3)·(4 – x) > 2 – 2 x 2 Schreibe die rechte Seite der Ungleichung korrekt an, die nach der Umformung entsteht! a) ‒2 x > 4 b) ‒ ​ 1 _ 3 ​x > 6 c) ‒20 > ‒5p d) ‒ ​ 2 _ 3 ​a < ​ 4 _ 9 ​ x < x < p > a > Für welche reellen Zahlen x gilt die folgende Ungleichung? a) 10 – 2 x > ‒8 c) 4 – 2 x > 10 x – 20 e) ‒ ​ 1 _ 3 ​​ “ x + 6 § ​< 3 g) ​ 5 – x ___ 2 ​ + 5 º ​ x _ 3 ​ b) 24 – 3 x < ‒6 x d) 5 x + 17 º 9 x + 57 f) x 2 – 16 > (x + 2) 2 h) 3 x – 4 x 2 ª (2 x + 1) (5 – 2 x) Für welche reellen Zahlen x gilt die folgende Ungleichung? a) 6,6 x > 9,9 x + 2,2 + 7,7x c) (x + 1) (x – 1) ª (x + 3) (x – 3) e) (2 x + 1) 2 – 1 ª (2 x + 4) (2 x – 3) b) 2 (x – 3) º 4 ​ “ 1 – ​ x _ 3 ​ § ​ d) (x – 4) (x + 4) º (x + 6) (x – 6) f) (3 x – 5) 2 – (2 x – 1) 2 º 5 x 2 + 11 2.128 O 2.129 O 2.130 O 2.131 O I D 2.132 O 2.133 O 62 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv