Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Bruchterme multiplizieren und dividieren Stelle ​ 2 __ k 2 ·​ ​ 3 t __ k ​(k ≠ 0) durch einen möglichst einfachen Bruch dar! Lösung: ​ 2 __ k 2 ·​ ​ 3 t __ k ​= ​ 2·3 t ___ k 2 ·k ​= ​ 6 t __ k 3 ​ Stelle ​ a + 2 ____ 3a – 6 ·​ ​ 4a – 8 _____ 7a + 14 ​möglichst einfach in der Form ​ A __ B ​dar! Was muss für a vorausgesetzt werden? Lösung: Es gilt: 3a – 6 ≠ 0 und 7a + 14 ≠ 0. Daraus folgt die Voraussetzung: a ≠ ‒2 bzw. a ≠ 2. ​ a + 2 ____ 3a – 6 ·​ ​ 4a – 8 _____ 7a + 14 ​= ​ (a + 2)·(4a – 8) ___________ (3a – 6)·(7a + 14) ​= ​ (a + 2)·4 (a – 2) __________ 3 (a – 2)·7(a + 2) ​= ​ 4 __ 21 ​ Es wird in Aufgabe 2.93 auffallen, dass das Ergebnis kein Bruchterm, sondern eine rationale Zahl ist; die Variable a kommt nach dem Kürzen nicht mehr vor. Dennoch muss a ≠ ‒2 bzw. a ≠ 2 vorausgesetzt werden, da diese Werte in die ursprüngliche Darstellung eingesetzt in jeweils einem der beiden Nenner 0 ergeben. Stelle ​ 5 s ___ 7w 2 ​ ​ 15 s 3 ___ w ​(s, w ≠ 0) durch einen möglichst einfachen Bruch dar! Lösung: ​ 5 s ___ 7w 2 ​ ​ 15 s 3 ___ w ​= ​ 5 s ___ 7w 2 ·​ ​ w ___ 15 s 3 ​= ​ 5 s·w ______ 7w 2 ·15 s 3 ​= ​ 1 _____ 7w·3 s 2 ​= ​ 1 ____ 21 s 2 w ​ Stelle ​ ​ 2a 2 ___ b ​ __ ​ 4a __ c ​ ​(b, c ≠ 0) durch einen möglichst einfachen Bruch dar! Lösung: ​ ​ 2a 2 ___ b ​ __ ​ 4a __ c ​ ​= ​ 2a 2 ___ b ​ ​ 4a __ c ​= ​ 2a 2 ___ b ·​ ​ c __ 4a ​= ​ a c __ 2b​ ​ Ein Bruchterm, in dessen Zähler und Nenner wieder Bruchterme auftreten, ist ein Doppelbruch . Aufgelöst wird er, indem man ihn als Division zweier Brüche anschreibt. Als Merkregel wird manchmal auch „außen mal außen durch innen mal innen“ verwendet, wobei mit „außen“ einerseits der Zähler des Dividenden und andererseits der Nenner des Divisors gemeint sind, mit „innen“ einerseits der Nenner des Dividenden und andererseits der Zähler des Divisors. Haupt- und Nebenbruchstrich müssen stets klar erkennbar sein. Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Für Terme A, B, C, D gilt: (1) ​ A __ B ·​ ​ C __ D ​= ​ A·C ___ B·D ​ (B, D ≠ 0) (2) ​ A __ B ​ ​ C __ D ​= ​ A __ B ·​ ​ D __ C ​ (B, C, D ≠ 0) Aufgaben Grundlagen Stelle durch einen Bruch dar! Welche Bedingungen muss die Variable (müssen die Variablen) erfüllen? a) ​ 2 _ x ·​ ​ y _ 5 ​ c) 2a·​ c _ d ​ e) x y·​ z x __ 4 ​ g) ​ x – y ___ z ·​ ​ w ___ x + y ​ b) ​ a _ b ·​ ​ c _ d ​ d) ​ e – f ___ h ·​ g f) ​ ( ‒ x) 2 ___ 8 ·​ 3 x 2 h) ​ r + s – t _____ u ·​ ​ v _____ r – s + t ​ 2.92 D O 2.93 D O 1 1 1 1 2.94 D O 1 3 1 2 1 1 2.95 D O 1 2 1 1 2.96 D O 55 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv